ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1233 Макарычев — Подробные Ответы

Найдите все простые числа \(p\) и \(q\), для которых \(p^2 — 2q^2 = 1\).

\(p^2 — 2q^2 = 1\)
\(2q^2 = p^2 — 1\)
\(2q^2 = (p — 1)(p + 1)\).

При условии, что \(p\) — чётное число, \((p + 1)\) и \((p — 1)\) — нечётные, значит произведение нечётно, что не подходит, так как произведение должно быть кратно 2.

При условии, что \(p\) — нечётное, \(p = 2n + 1\).
Тогда:
\(2q^2 = (2n + 1 + 1)(2n + 1 — 1) = (2n + 2) \cdot 2n = 4n(n + 1)\)
\(q^2 = 2n(n + 1)\).

\(q^2\) кратно 2, значит \(q\) кратно 2, поэтому простое число, удовлетворяющее условию, может быть только 2.

\(p^2 — 2q^2 = 1\)
\(p^2 = 2q^2 + 1\)
Подставляем \(q = 2\):
\(p^2 = 2 \cdot 2^2 + 1 = 8 + 1 = 9\)
\(p = 3\).

Ответ: \(q = 2\), \(p = 3\).

Уравнение \(p^2 — 2q^2 = 1\) можно переписать в виде \(2q^2 = p^2 — 1\), что эквивалентно выражению \(2q^2 = (p — 1)(p + 1)\). Это показывает, что произведение двух последовательных чисел \(p — 1\) и \(p + 1\) должно быть кратно 2. Рассмотрим два случая: когда \(p\) чётное и когда \(p\) нечётное.

Если \(p\) чётное, то числа \(p — 1\) и \(p + 1\) будут нечётными, так как они на единицу меньше и больше чётного числа соответственно. Произведение двух нечётных чисел всегда нечётно, а нам нужно, чтобы произведение было чётным, так как оно равно \(2q^2\). Следовательно, \(p\) не может быть чётным числом, иначе условие не выполнится.

Если \(p\) нечётное, то его можно представить в виде \(p = 2n + 1\), где \(n\) — целое число. Тогда выражение для произведения примет вид \(2q^2 = (2n + 1 — 1)(2n + 1 + 1) = 2n \cdot (2n + 2)\). Раскроем скобки: \(2q^2 = 2n \cdot 2(n + 1) = 4n(n + 1)\). Отсюда получаем \(q^2 = 2n(n + 1)\). Поскольку произведение \(n(n + 1)\) всегда чётное (произведение двух последовательных чисел), \(q^2\) делится на 2, следовательно, \(q\) должно быть чётным числом.

Пусть \(q = 2k\). Подставим это в исходное уравнение: \(p^2 — 2(2k)^2 = 1\), что даёт \(p^2 — 8k^2 = 1\). Для простоты рассмотрим минимальные значения \(k\). Если \(k = 1\), то \(q = 2\), и уравнение становится \(p^2 — 8 = 1\), или \(p^2 = 9\). Значит, \(p = 3\). Это удовлетворяет исходному уравнению, так как \(3^2 — 2 \cdot 2^2 = 9 — 8 = 1\). Таким образом, единственное простое решение при данных условиях — \(q = 2\), \(p = 3\).