ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1241 Макарычев — Подробные Ответы

Путь от \( A \) до \( B \) идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.

Пусть \( x \) км/ч — скорость мотоциклиста в гору, а \( y \) км/ч — скорость мотоциклиста под гору.

Тогда 3 км в гору и 6 км под гору мотоциклист преодолевает за \( 67 — 40 = 27 \) мин, а 6 км в гору и 3 км под гору — за \( 76 — 40 = 36 \) мин.

Составим систему уравнений:
\(\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = 27\),
\(\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = 36\).

Домножим первое уравнение на \( xy \):
\(3y + 6x = 27xy\),

второе уравнение на \( xy \):
\(6y + 3x = 36xy\).

Умножим первое уравнение на 2:
\(6y + 12x = 54xy\).

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2:
\((6y + 3x) — (6y + 12x) = 36xy — 54xy\),
\(3x — 12x = -18xy\),
\(-9x = -18xy\),
\(9x = 18xy\),
\(x = 2xy\),
\(1 = 2y\),
\(y = \frac{1}{2}\).

Подставим \( y = \frac{1}{2} \) в первое уравнение:
\(3y + 6x = 27xy\),
\(3 \cdot \frac{1}{2} + 6x = 27x \cdot \frac{1}{2}\),
\(\frac{3}{2} + 6x = \frac{27x}{2}\),
Умножим на 2:
\(3 + 12x = 27x\),
\(3 = 15x\),
\(x = \frac{1}{5} = 0{,}2\).

Переведём скорость из км/мин в км/ч:
\(x = 0{,}2 \cdot 60 = 12\) км/ч,
\(y = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30\) км/ч.

Ответ: 12 км/ч — скорость мотоциклиста в гору и 30 км/ч — под гору.

Пусть \( x \) км/ч — скорость мотоциклиста в гору, а \( y \) км/ч — скорость мотоциклиста под гору. Из условия задачи известно, что мотоциклист проезжает 3 км в гору и 6 км под гору за 27 минут, а 6 км в гору и 3 км под гору — за 36 минут. Чтобы работать с этими данными, переведём время в часы, так как скорости даны в км/ч, а время в минутах: 27 минут — это \(\frac{27}{60}\) часа, 36 минут — это \(\frac{36}{60}\) часа.

Время прохождения пути — это расстояние, делённое на скорость. Для первого случая время равно сумме времени в пути в гору и под гору: \(\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{27}{60}\). Аналогично, для второго случая: \(\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{36}{60}\). Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

\(\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{27}{60}\),

\(\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{36}{60}\).

Для удобства умножим оба уравнения на \( 60xy \), чтобы избавиться от дробей. Тогда первое уравнение примет вид: \(3 \cdot 60y + 6 \cdot 60x = 27 \cdot 60 xy\), или после сокращения \(3y + 6x = 27xy\). Аналогично второе уравнение: \(6y + 3x = 36xy\).

Теперь у нас есть система:

\(3y + 6x = 27xy\),

\(6y + 3x = 36xy\).

Умножим первое уравнение на 2, чтобы упростить вычитание:

\(6y + 12x = 54xy\).

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2:

\((6y + 3x) — (6y + 12x) = 36xy — 54xy\),

\(3x — 12x = -18xy\),

\(-9x = -18xy\).

Разделим обе части на \(-9x\), учитывая, что \(x \neq 0\):

\(1 = 2y\),

откуда \(y = \frac{1}{2}\).

Подставим найденное значение \( y = \frac{1}{2} \) в первое уравнение системы:

\(3y + 6x = 27xy\),

подставляя:

\(3 \cdot \frac{1}{2} + 6x = 27x \cdot \frac{1}{2}\),

что даёт

\(\frac{3}{2} + 6x = \frac{27x}{2}\).

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

\(3 + 12x = 27x\).

Переносим слагаемые:

\(3 = 27x — 12x\),

\(3 = 15x\),

следовательно,

\(x = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2\).

Поскольку скорости были в км/ч, а время в минутах, умножаем найденные значения на 60, чтобы получить скорость в км/ч:

\(x = 0{,}2 \cdot 60 = 12\) км/ч — скорость мотоциклиста в гору,

\(y = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30\) км/ч — скорость мотоциклиста под гору.