ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 200 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте бесконечные периодические дроби в виде обыкновенных дробей.

Образец: Пусть \( x = 0,(7) = 0,7777… \). Тогда \( 10x = 7,777… \), а \( 10x — x = 7 \). Таким образом, \( 9x = 7 \), откуда \( x = \frac{7}{9} \).

Значит, \( 0,(7) = \frac{7}{9} \).

а) \( 0,(3) \);
б) \( 0,(5) \);
в) \( 0,(12) \);
г) \( 0,(48) \).

а) Рассмотрим \( x = 0,(3) = 0,3333… \). Умножим на 10: \( 10x = 3,3333… \). Вычтем \( x \) из \( 10x \): \( 10x — x = 3 \). Следовательно, \( 9x = 3 \), откуда \( x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \).

б) Рассмотрим \( x = 0,(5) = 0,555… \). Умножим на 10: \( 10x = 5,555… \). Вычтем \( x \) из \( 10x \): \( 10x — x = 5 \). Таким образом, \( 9x = 5 \), откуда \( x = \frac{5}{9} \).

в) Рассмотрим \( x = 0,(12) = 0,1212… \). Умножим на 100: \( 100x = 12,1212… \). Вычтем \( x \) из \( 100x \): \( 100x — x = 12 \). Следовательно, \( 99x = 12 \), откуда \( x = \frac{12}{99} \).

г) Рассмотрим \( x = 0,(48) = 0,4848… \). Умножим на 100: \( 100x = 48,4848… \). Вычтем \( x \) из \( 100x \): \( 100x — x = 48 \). Таким образом, \( 99x = 48 \), откуда \( x = \frac{48}{99} \).

а) Пусть \( x = 0,(3) = 0,3333… \).

1. Умножим обе части уравнения на \( 10 \), чтобы сдвинуть периодическую часть:
\(
10x = 3,3333…
\).

2. Вычтем исходное \( x \) из \( 10x \):
\(
10x — x = 3,3333… — 0,3333…
\).

3. Это убирает периодическую часть, и мы получаем:
\(
9x = 3
\).

4. Разделим обе части на \( 9 \), чтобы найти \( x \):
\(
x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\).

Значит, \( 0,(3) = \frac{1}{3} \).

б) Пусть \( x = 0,(5) = 0,555… \).

1. Умножим обе части уравнения на \( 10 \), чтобы сдвинуть периодическую часть:
\(
10x = 5,555…
\).

2. Вычтем исходное \( x \) из \( 10x \):
\(
10x — x = 5,555… — 0,555…
\).

3. Это убирает периодическую часть, и мы получаем:
\(
9x = 5
\).

4. Разделим обе части на \( 9 \), чтобы найти \( x \):
\(
x = \frac{5}{9}
\).

Значит, \( 0,(5) = \frac{5}{9} \).

в) Пусть \( x = 0,(12) = 0,121212… \).

1. Умножим обе части уравнения на \( 100 \), чтобы сдвинуть периодическую часть:
\(
100x = 12,121212…
\).

2. Вычтем исходное \( x \) из \( 100x \):
\(
100x — x = 12,121212… — 0,121212…
\).

3. Это убирает периодическую часть, и мы получаем:
\(
99x = 12
\).

4. Разделим обе части на \( 99 \), чтобы найти \( x \):
\(
x = \frac{12}{99}
\).

Значит, \( 0,(12) = \frac{12}{99} \).

г) Пусть \( x = 0,(48) = 0,484848… \).

1. Умножим обе части уравнения на \( 100 \), чтобы сдвинуть периодическую часть:
\(
100x = 48,484848…
\).

2. Вычтем исходное \( x \) из \( 100x \):
\(
100x — x = 48,484848… — 0,484848…
\).

3. Это убирает периодическую часть, и мы получаем:
\(
99x = 48
\).

4. Разделим обе части на \( 99 \), чтобы найти \( x \):
\(
x = \frac{48}{99}
\).

Значит, \( 0,(48) = \frac{48}{99} \).