ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 481 Макарычев — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

a) \(\frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}}\);

б) \(\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9}\).

a) \( \frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 3^{10}}{(2 \cdot 3)^{10}} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{2^6}{2^{10}} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \)

б) \( \frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9} = \frac{2^6 \cdot (2 \cdot 3)^{18}}{2^{25} \cdot (3^2)^9} = \frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{24} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{24}}{2^{25}} = \frac{1}{2} \)

a) \(\frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}}\)

1. Разложение на простые множители:
— \(4^3\): Число 4 можно представить как \(2^2\), поэтому \(4^3 = (2^2)^3\). Применяя правило возведения степени в степень, получаем \(2^{2 \times 3} = 2^6\).
— \(6^{10}\): Число 6 можно представить как произведение простых множителей \(2 \cdot 3\), поэтому \(6^{10} = (2 \cdot 3)^{10}\). Применяя правило возведения произведения в степень, получаем \(2^{10} \cdot 3^{10}\).

2. Подстановка в выражение:
— Подставляем разложения: \(\frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}}\).

3. Сокращение одинаковых множителей:
— В числителе и знаменателе присутствует одинаковый множитель \(3^{10}\), который можно сократить:
\(
\frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{2^6}{2^{10}}
\)

4. Упрощение степени:
— Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: \(2^6 / 2^{10} = 2^{6-10} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4}\).

5. Вычисление конечного значения:
— \(2^4 = 16\), поэтому \(\frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}\).

б) \(\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9}\)

1. Разложение на простые множители:
— \(6^{18} = (2 \cdot 3)^{18} = 2^{18} \cdot 3^{18}\).
— \(9^9 = (3^2)^9 = 3^{18}\).

2. Подстановка в выражение:
— Подставляем разложения: \(\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9} = \frac{2^6 \cdot (2 \cdot 3)^{18}}{2^{25} \cdot (3^2)^9}\).

3. Объединение степеней:
— Получаем: \(\frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}\).

4. Сокращение одинаковых множителей:
— В числителе и знаменателе присутствует одинаковый множитель \(3^{18}\), который можно сократить:
\(
\frac{2^{24} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{24}}{2^{25}}
\)

5. Упрощение степени:
— Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: \(2^{24} / 2^{25} = 2^{24-25} = 2^{-1} = \frac{1}{2}\).