ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 518 Макарычев — Подробные Ответы

Пусть \( p \) — простое число. Укажите наименьшее значение \( p \), при котором значение выражения \( 2^p — 1 \) не является простым числом.

Пусть \( p \) — простое число.

— Если \( p = 2 \), то \( 2^2 — 1 = 3 \).
— Если \( p = 3 \), то \( 2^3 — 1 = 7 \).
— Если \( p = 5 \), то \( 2^5 — 1 = 31 \).
— Если \( p = 7 \), то \( 2^7 — 1 = 127 \).

Если \( p = 11 \), то \( 2^{11} — 1 = 2047 = 23 \times 89 \).

Ответ: \( p = 11 \)

1. Определение задачи:
— Мы ищем наименьшее простое число \( p \), при котором выражение \( 2^p — 1 \) не является простым числом.

2. Начнем с самого маленького простого числа, \( p = 2 \):
— Вычисляем \( 2^2 — 1 \).
— Это равно \( 4 — 1 = 3 \).
— Число \( 3 \) является простым, так как оно делится только на \( 1 \) и на себя.

3. Следующее простое число, \( p = 3 \):
— Вычисляем \( 2^3 — 1 \).
— Это равно \( 8 — 1 = 7 \).
— Число \( 7 \) также является простым, потому что оно делится только на \( 1 \) и на себя.

4. Продолжаем с \( p = 5 \):
— Вычисляем \( 2^5 — 1 \).
— Это равно \( 32 — 1 = 31 \).
— Число \( 31 \) является простым, так как оно не делится ни на одно число, кроме \( 1 \) и самого себя.

5. Следующее простое число, \( p = 7 \):
— Вычисляем \( 2^7 — 1 \).
— Это равно \( 128 — 1 = 127 \).
— Число \( 127 \) является простым по той же причине.

6. Теперь рассмотрим \( p = 11 \):
— Вычисляем \( 2^{11} — 1 \).
— Это равно \( 2048 — 1 = 2047 \).
— Проверим, является ли число \( 2047 \) простым. Оказывается, что оно делится на \( 23 \) и на \( 89 \), так как \( 2047 = 23 \times 89 \).
— Следовательно, число \( 2047 \) не является простым.

Таким образом, наименьшее значение \( p \), при котором выражение \( 2^p — 1 \) не является простым числом, равно \( p = 11 \).