ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 541 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что не имеет корней уравнение:
а) \( x^2 + 1 = 0 \);
б) \( 2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0 \).

а) \( x^2 + 1 = 0 \)
\( x^2 = -1 \)
т.к. \( x^2 \ge 0 \)
корней нет

б) \( 2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0 \)
\( 2x^6 + 3x^4 + x^2 = -1 \)
\( 2x^6 \ge 0 \)
\( 3x^4 \ge 0 \)
\( x^2 \ge 0 \)
\( 2x^6 + 3x^4 + x^2 \ge 0 \)
корней нет

а) Уравнение \( x^2 + 1 = 0 \).

1. Переносим \(1\) на правую сторону: \( x^2 = -1 \).
2. Заметим, что квадрат любого действительного числа \( x \) всегда неотрицателен, то есть \( x^2 \geq 0 \).
3. Следовательно, уравнение \( x^2 = -1 \) не может иметь действительных решений, так как левая часть уравнения не может быть отрицательной.
4. Таким образом, уравнение \( x^2 + 1 = 0 \) не имеет действительных корней.

б) Уравнение \( 2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0 \).

1. Переносим \(1\) на правую сторону: \( 2x^6 + 3x^4 + x^2 = -1 \).
2. Рассмотрим каждое слагаемое в левой части уравнения:
— \( 2x^6 \geq 0 \) для любого действительного числа \( x \), так как шестая степень и коэффициент положительны.
— \( 3x^4 \geq 0 \) по той же причине: четная степень и положительный коэффициент.
— \( x^2 \geq 0 \), поскольку квадрат любого числа неотрицателен.
3. Следовательно, сумма \( 2x^6 + 3x^4 + x^2 \geq 0 \) для любого действительного \( x \).
4. Поскольку левая часть уравнения всегда неотрицательна, она никогда не может быть равна отрицательному числу (в данном случае, \(-1\)).
5. Таким образом, уравнение \( 2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0 \) также не имеет действительных корней.

В обоих случаях мы доказали, что указанные уравнения не имеют действительных решений.