ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 544 Макарычев — Подробные Ответы

Имеет ли уравнение \( x^6 — x^5 + x^4 — x^3 + x^2 — x + 1 = 0 \) отрицательные корни?

Если \( x < 0 \), то каждое из следующих выражений будет положительным: \( x^6 > 0 \), \( -x^5 > 0 \), \( x^4 > 0 \), \( -x^3 > 0 \), \( x^2 > 0 \), \( -x > 0 \). Таким образом, каждое слагаемое в сумме является положительным числом. Следовательно, сумма \( x^6 — x^5 + x^4 — x^3 + x^2 — x + 1 > 0 \) и не может быть равна нулю. Это означает, что уравнение не имеет отрицательных корней.

Чтобы определить, имеет ли уравнение \( x^6 — x^5 + x^4 — x^3 + x^2 — x + 1 = 0 \) отрицательные корни, рассмотрим поведение каждого члена уравнения при \( x < 0 \).

1. Член \( x^6 \): Поскольку степень \( 6 \) четная, \( x^6 \) всегда будет положительным, независимо от знака \( x \). Поэтому, если \( x < 0 \), то \( x^6 > 0 \).

2. Член \(-x^5\): Поскольку степень \( 5 \) нечетная, знак выражения зависит от знака \( x \). Если \( x < 0 \), то \( x^5 < 0 \), следовательно, \(-x^5 > 0\).

3. Член \( x^4 \): Как и в случае с \( x^6 \), степень \( 4 \) четная, поэтому \( x^4 > 0 \), независимо от знака \( x \).

4. Член \(-x^3\): Степень \( 3 \) нечетная, поэтому для \( x < 0 \), \( x^3 < 0 \), и, соответственно, \(-x^3 > 0\).

5. Член \( x^2 \): Степень \( 2 \) четная, поэтому \( x^2 > 0 \) для любого значения \( x \).

6. Член \(-x\): Здесь знак отрицательный, поэтому если \( x < 0 \), то \(-x > 0\).

7. Константа \( +1 \): Является положительным числом.

Когда мы складываем все эти положительные члены вместе, результирующая сумма также будет положительной. Таким образом, сумма выражений в уравнении будет больше нуля и никогда не будет равна нулю при условии, что \( x < 0 \). Это означает, что уравнение не может иметь отрицательных корней.