ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 557 Макарычев — Подробные Ответы

Верно ли при любом значении \(x\) равенство:
а) \(|x|^2 = x^2\);
б) \(|x|^3 = x^3\)?

а) \(|x^2| = x^2\)
\(x > 0\)
\(x < 0\)
да

б) \(|x^3| = x^3\)
\(x < 0\)
\(|x|^3 > 0\)
\(x^3 < 0\)
нет

а) \(|x|^2 = x^2\)

Для любого числа \(x\), модуль \(|x|\) всегда неотрицателен, то есть \(|x| \geq 0\). Когда мы возводим модуль в квадрат, получается \(|x|^2\), что равно \(x^2\), независимо от знака \(x\). Это происходит потому, что при возведении числа в квадрат, знак числа не влияет на результат:

— Если \(x > 0\), то \(|x| = x\), и \(|x|^2 = x^2\).
— Если \(x = 0\), то \(|x| = 0\), и \(|x|^2 = 0^2 = 0\).
— Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и \(|x|^2 = (-x)^2 = x^2\).

Таким образом, равенство \(|x|^2 = x^2\) верно при любом значении \(x\).

б) \(|x|^3 = x^3\)

В этом случае ситуация другая. Рассмотрим отдельно случаи для положительных и отрицательных значений \(x\):

— Если \(x > 0\), то \(|x| = x\), и \(|x|^3 = x^3\). В этом случае равенство выполняется.
— Если \(x = 0\), то \(|x| = 0\), и \(|x|^3 = 0^3 = 0\). Здесь равенство также выполняется.
— Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и \(|x|^3 = (-x)^3 = -x^3\). Однако, \(x^3\) для отрицательных \(x\) также будет отрицательным, поэтому в этом случае \(|x|^3 = -(-x)^3 = -(-1)^3 \cdot x^3 = x^3\).

Таким образом, равенство \(|x|^3 = x^3\) не выполняется, когда \(x < 0\). Это связано с тем, что при нечетной степени знак числа сохраняется, и для отрицательных \(x\) знак результата будет отличаться от знака результата для модуля.

Поэтому:
— Утверждение а) верно для любого \(x\).
— Утверждение б) неверно, если \(x < 0\).