ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 568 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном \(k\):
а) число \(3^{4k}\) оканчивается единицей;
б) число \(10^k — 1\) кратно 3.

а) \(3^{4k} = (3^4)^k = 81^k\), и так как 81 оканчивается на 1, то \(81^k\) всегда оканчивается на 1. Следовательно, \(3^{4k}\) оканчивается единицей.

б) \(10^k — 1\) состоит из \(k\) девяток. Сумма цифр равна \(9 \times k\), что кратно 9 и, следовательно, кратно 3. Таким образом, \(10^k — 1\) кратно 3.

а) Доказательство того, что \(3^{4k}\) оканчивается единицей

1. Рассмотрим степень числа 3: Начнем с того, что \(3^4 = 81\). Число 81 оканчивается на 1.

2. Свойство чисел, оканчивающихся на 1: Если число оканчивается на 1, то любая его степень также будет оканчиваться на 1. Это связано с тем, что при умножении чисел, оканчивающихся на 1, результат также будет оканчиваться на 1.

3. Применение свойства: Так как \(3^{4k} = (3^4)^k = 81^k\), то независимо от значения \(k\), \(81^k\) будет оканчиваться на 1. Следовательно, \(3^{4k}\) всегда оканчивается единицей.

б) Доказательство того, что \(10^k — 1\) кратно 3

1. Структура числа \(10^k\): Число \(10^k\) имеет вид единицы, за которой следует \(k\) нулей. Например, \(10^3 = 1000\).

2. Вычитание единицы: \(10^k — 1\) будет равняться числу, состоящему из \(k\) девяток. Например, \(10^3 — 1 = 999\).

3. Сумма цифр: Для числа, состоящего из \(k\) девяток, сумма его цифр равна \(9 \times k\). Например, для числа 999 сумма цифр равна \(9 + 9 + 9 = 27\).

4. Кратность сумме цифр: Если сумма цифр числа кратна 9, то она также кратна 3. Поскольку сумма цифр числа \(10^k — 1\) равна \(9 \times k\), она кратна 9 и, следовательно, кратна 3.