Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 578 Макарычев — Подробные Ответы
На рисунке 81 построены графики функций \(y = x\), \(y = x^2\), \(y = x^3\), где \(x \ge 0\). Пользуясь графиком, сравните:
а) \(0,23\) и \(0,23^2\);
\(0,23\) и \(0,23^3\);
\(0,23^2\) и \(0,23^3\);
б) \(1,47\) и \(1,47^2\);
\(1,47\) и \(1,47^3\);
\(1,47^2\) и \(1,47^3\).
а) \(0,23 > 0,23^2\)
\(0,23 > 0,23^3\)
\(0,23^2 > 0,23^3\)
б) \(1,47 < 1,47^2\)
\(1,47 < 1,47^3\)
\(1,47^2 < 1,47^3\)
Для сравнения чисел, пользуясь графиками функций \(y = x\), \(y = x^2\) и \(y = x^3\), нужно рассмотреть положение этих графиков относительно друг друга при заданных значениях \(x\).
На рисунке 81 показаны графики этих функций для \(x \ge 0\). Заметим, что все три графика проходят через точку \((0, 0)\) и точку \((1, 1)\).
Важно посмотреть, как соотносятся значения функций \(y=x\), \(y=x^2\), \(y=x^3\) для \(x\) в интервале \(0 < x < 1\) и для \(x > 1\).
1. Рассмотрим интервал \(0 < x < 1\).
На графике видно, что в этом интервале:
— График \(y = x\) расположен выше графика \(y = x^2\). Это означает, что для \(0 < x < 1\), \(x > x^2\).
— График \(y = x^2\) расположен выше графика \(y = x^3\). Это означает, что для \(0 < x < 1\), \(x^2 > x^3\).
Таким образом, для \(0 < x < 1\) справедливо неравенство \(x > x^2 > x^3\).
2. Рассмотрим интервал \(x > 1\).
На графике видно, что в этом интервале:
— График \(y = x^3\) расположен выше графика \(y = x^2\). Это означает, что для \(x > 1\), \(x^3 > x^2\).
— График \(y = x^2\) расположен выше графика \(y = x\). Это означает, что для \(x > 1\), \(x^2 > x\).
Таким образом, для \(x > 1\) справедливо неравенство \(x^3 > x^2 > x\).
Теперь применим эти наблюдения к заданным числам:
а) Сравните \(0,23\), \(0,23^2\), \(0,23^3\).
Значение \(x = 0,23\). Поскольку \(0 < 0,23 < 1\), мы находимся в первом случае.
Согласно наблюдению для \(0 < x < 1\), имеем \(x > x^2 > x^3\).
Подставляя \(x = 0,23\), получаем:
— \(0,23\) и \(0,23^2\): \(0,23 > 0,23^2\)
— \(0,23\) и \(0,23^3\): \(0,23 > 0,23^3\) (поскольку \(0,23 > 0,23^2\) и \(0,23^2 > 0,23^3\))
— \(0,23^2\) и \(0,23^3\): \(0,23^2 > 0,23^3\)
б) Сравните \(1,47\), \(1,47^2\), \(1,47^3\).
Значение \(x = 1,47\). Поскольку \(1,47 > 1\), мы находимся во втором случае.
Согласно наблюдению для \(x > 1\), имеем \(x^3 > x^2 > x\).
Подставляя \(x = 1,47\), получаем:
— \(1,47\) и \(1,47^2\): \(1,47 < 1,47^2\) (так как \(1,47^2 > 1,47\))
— \(1,47\) и \(1,47^3\): \(1,47 < 1,47^3\) (так как \(1,47^3 > 1,47^2\) и \(1,47^2 > 1,47\))
— \(1,47^2\) и \(1,47^3\): \(1,47^2 < 1,47^3\) (так как \(1,47^3 > 1,47^2\))
Алгебра
