ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 578 Макарычев — Подробные Ответы

На рисунке 81 построены графики функций \(y = x\), \(y = x^2\), \(y = x^3\), где \(x \ge 0\). Пользуясь графиком, сравните:

а) \(0,23\) и \(0,23^2\);
\(0,23\) и \(0,23^3\);
\(0,23^2\) и \(0,23^3\);

б) \(1,47\) и \(1,47^2\);
\(1,47\) и \(1,47^3\);
\(1,47^2\) и \(1,47^3\).

а) \(0,23 > 0,23^2\)
\(0,23 > 0,23^3\)
\(0,23^2 > 0,23^3\)

б) \(1,47 < 1,47^2\)
\(1,47 < 1,47^3\)
\(1,47^2 < 1,47^3\)

Для сравнения чисел, пользуясь графиками функций \(y = x\), \(y = x^2\) и \(y = x^3\), нужно рассмотреть положение этих графиков относительно друг друга при заданных значениях \(x\).

На рисунке 81 показаны графики этих функций для \(x \ge 0\). Заметим, что все три графика проходят через точку \((0, 0)\) и точку \((1, 1)\).

Важно посмотреть, как соотносятся значения функций \(y=x\), \(y=x^2\), \(y=x^3\) для \(x\) в интервале \(0 < x < 1\) и для \(x > 1\).

1. Рассмотрим интервал \(0 < x < 1\).
На графике видно, что в этом интервале:
— График \(y = x\) расположен выше графика \(y = x^2\). Это означает, что для \(0 < x < 1\), \(x > x^2\).
— График \(y = x^2\) расположен выше графика \(y = x^3\). Это означает, что для \(0 < x < 1\), \(x^2 > x^3\).
Таким образом, для \(0 < x < 1\) справедливо неравенство \(x > x^2 > x^3\).

2. Рассмотрим интервал \(x > 1\).
На графике видно, что в этом интервале:
— График \(y = x^3\) расположен выше графика \(y = x^2\). Это означает, что для \(x > 1\), \(x^3 > x^2\).
— График \(y = x^2\) расположен выше графика \(y = x\). Это означает, что для \(x > 1\), \(x^2 > x\).
Таким образом, для \(x > 1\) справедливо неравенство \(x^3 > x^2 > x\).

Теперь применим эти наблюдения к заданным числам:

а) Сравните \(0,23\), \(0,23^2\), \(0,23^3\).
Значение \(x = 0,23\). Поскольку \(0 < 0,23 < 1\), мы находимся в первом случае.
Согласно наблюдению для \(0 < x < 1\), имеем \(x > x^2 > x^3\).
Подставляя \(x = 0,23\), получаем:
— \(0,23\) и \(0,23^2\): \(0,23 > 0,23^2\)
— \(0,23\) и \(0,23^3\): \(0,23 > 0,23^3\) (поскольку \(0,23 > 0,23^2\) и \(0,23^2 > 0,23^3\))
— \(0,23^2\) и \(0,23^3\): \(0,23^2 > 0,23^3\)

б) Сравните \(1,47\), \(1,47^2\), \(1,47^3\).
Значение \(x = 1,47\). Поскольку \(1,47 > 1\), мы находимся во втором случае.
Согласно наблюдению для \(x > 1\), имеем \(x^3 > x^2 > x\).
Подставляя \(x = 1,47\), получаем:
— \(1,47\) и \(1,47^2\): \(1,47 < 1,47^2\) (так как \(1,47^2 > 1,47\))
— \(1,47\) и \(1,47^3\): \(1,47 < 1,47^3\) (так как \(1,47^3 > 1,47^2\) и \(1,47^2 > 1,47\))
— \(1,47^2\) и \(1,47^3\): \(1,47^2 < 1,47^3\) (так как \(1,47^3 > 1,47^2\))