ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 625 Макарычев — Подробные Ответы

Известно, что при некоторых натуральных значениях \(n\) значение выражения \(n^3 + n\) кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях \(n\) значение выражения:
а) \(n^3 + 31n\);
б) \(n^3 — 29n\)?

а) Рассмотрим выражение \(n^3 + 31n\). Мы можем переписать его как \(n^3 + n + 30n\). Согласно условию, \(n^3 + n\) делится на \(30\), а \(30n\) также делится на \(30\). Следовательно, по свойству делимости, сумма \(n^3 + n + 30n = n^3 + 31n\) также будет кратна \(30\).

б) Теперь рассмотрим выражение \(n^3 — 29n\). Его можно переписать как \(n^3 + n — 30n\). Учитывая, что \(n^3 + n\) делится на \(30\), и \(-30n\) также кратно \(30\), то, согласно свойству делимости, сумма \(n^3 + n — 30n = n^3 — 29n\) также будет делиться на \(30\).

Давайте подробно рассмотрим решение задачи о кратности выражений \(n^3 + 31n\) и \(n^3 — 29n\) числу \(30\), если известно, что \(n^3 + n\) кратно \(30\) при некоторых натуральных значениях \(n\).

а) Для выражения \(n^3 + 31n\):

\(1\). Разложение выражения: Мы можем переписать \(n^3 + 31n\) как \(n^3 + n + 30n\). Это разложение основано на выделении части, которая уже кратна \(30\) (\(30n\)).

\(2\). Кратность исходного выражения: По условию задачи, известно, что \(n^3 + n\) делится на \(30\) для некоторых значений \(n\). Это означает, что остаток от деления \(n^3 + n\) на \(30\) равен нулю.

\(3\). Кратность дополнительного слагаемого: Выражение \(30n\) очевидно делится на \(30\), так как \(30\) умножается на любое натуральное число \(n\).

\(4\). Свойство делимости суммы: Если два числа делятся на одно и то же число, то их сумма также будет делиться на это число. Таким образом, сумма \(n^3 + n + 30n = n^3 + 31n\) делится на \(30\).

б) Для выражения \(n^3 — 29n\):

\(1\). Разложение выражения: Мы можем переписать \(n^3 — 29n\) как \(n^3 + n — 30n\), выделяя часть, которая кратна \(30\) (\(-30n\)).

\(2\). Кратность исходного выражения: Как указано в условии, \(n^3 + n\) делится на \(30\) для некоторых значений \(n\).

\(3\). Кратность дополнительного слагаемого: Выражение \(-30n\) также делится на \(30\), поскольку это произведение \(-30\) и натурального числа \(n\).

\(4\). Свойство делимости суммы: Поскольку и \(n^3 + n\), и \(-30n\) делятся на \(30\), их сумма \(n^3 + n — 30n = n^3 — 29n\) также будет делиться на \(30\).

Таким образом, оба выражения, \(n^3 + 31n\) и \(n^3 — 29n\), будут кратны \(30\) для тех же значений \(n\), при которых кратно \(30\) исходное выражение \(n^3 + n\).