ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 642 Макарычев — Подробные Ответы

Приведите контрпример для утверждения:

выражение \(x(2x-1) — x^2(x-2) + (x^3-x+3) + 2(x — 1,5)\) при любом значении \(x\) принимает положительное значение.

\(x(2x — 1) — x^2(x-2) + (x^3 — x + 3) + 2(x — 1,5) =\)
\(= 2x^2 — x — x^3 + 2x^2 + x^3 — x + 3 + 2x — 3 = 4x^2\)

при \(x = 0\); \(4 \cdot 0^2 = 0\) — не является положительным числом.

Изначально дано сложное выражение:
\( x(2x-1) — x^2(x-2) + (x^3-x+3) + 2(x — 1.5) \)

Цель — раскрыть скобки и упростить выражение. Рассмотрим каждую часть отдельно:

1. Раскрытие скобок

Первая часть: \( x(2x-1) \)
— Умножаем \(x\) на каждое слагаемое в скобках:
\( x \cdot 2x = 2x^2 \)
\( x \cdot (-1) = -x \)
— Итак, первая часть: \( 2x^2 — x \)

Вторая часть: \(-x^2(x-2)\)
— Умножаем \(-x^2\) на каждое слагаемое в скобках:
\( -x^2 \cdot x = -x^3 \)
\( -x^2 \cdot (-2) = 2x^2 \)
— Вторая часть: \(-x^3 + 2x^2\)

Третья часть: \( (x^3-x+3) \)
— Здесь скобки не изменяют знаки, поэтому просто переписываем:
\( x^3 — x + 3 \)

Четвертая часть: \( 2(x — 1.5) \)
— Умножаем 2 на каждое слагаемое в скобках:
\( 2 \cdot x = 2x \)
\( 2 \cdot (-1.5) = -3 \)
— Четвертая часть: \( 2x — 3 \)

2. Сложение всех частей

Теперь сложим все части вместе:
\( (2x^2 — x) + (-x^3 + 2x^2) + (x^3 — x + 3) + (2x — 3) \)

Упростим, объединив подобные члены:

— Члены с \(x^3\): \(-x^3 + x^3 = 0\)
— Члены с \(x^2\): \(2x^2 + 2x^2 = 4x^2\)
— Члены с \(x\): \(-x — x + 2x = 0\)
— Константы: \(+3 — 3 = 0\)

Таким образом, упрощенное выражение:
\( 4x^2 \)

Теперь посмотрим, при каких значениях \(x\) это выражение может быть не положительным. Поскольку \(4x^2\) — это квадрат выражения, оно всегда неотрицательно, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Однако, при \(x = 0\):
\( 4 \cdot 0^2 = 0 \)

Значение выражения равно нулю, что не является положительным числом. Таким образом, это контрпример, показывающий, что утверждение неверно для всех значений \(x\).