ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 644 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
а) \(a(b — c) + b(c — a) + c(a — b)\);
б) \(a(b + c — bc) — b(c + a — ac) + c(b — a)\).

а) \(a(b-c)+b(c-a)+c(a-b) = ab-ac+bc-ab+ac-bc = 0\)

б) \(a(b+c-bc)-b(c+a-ac)+c(b-a) = ab+ac-abc-bc-\)
\(-ab+abc+bc-ac = 0\)

а) \(a(b — c) + b(c — a) + c(a — b)\)

1. Раскрытие скобок:
— Первое слагаемое: \(a(b — c)\) раскрывается как \(ab — ac\).
— Второе слагаемое: \(b(c — a)\) раскрывается как \(bc — ba\).
— Третье слагаемое: \(c(a — b)\) раскрывается как \(ca — cb\).

2. Объединение всех раскрытых слагаемых:
\(
ab — ac + bc — ba + ca — cb
\)

3. Группировка и упрощение:
— Обратите внимание, что \(ab\) и \(-ba\) являются противоположными и взаимно уничтожаются: \(ab — ba = 0\).
— Аналогично, \(-ac\) и \(ca\) также уничтожаются: \(-ac + ca = 0\).
— Наконец, \(bc\) и \(-cb\) уничтожаются: \(bc — cb = 0\).

Таким образом, после упрощения всех членов выражения, мы получаем 0.

б) \(a(b + c — bc) — b(c + a — ac) + c(b — a)\)

1. Раскрытие скобок:
— Первое слагаемое: \(a(b + c — bc)\) раскрывается как \(ab + ac — abc\).
— Второе слагаемое: \(-b(c + a — ac)\) раскрывается как \(-bc — ba + bac\).
— Третье слагаемое: \(c(b — a)\) раскрывается как \(cb — ca\).

2. Объединение всех раскрытых слагаемых:
\(
ab + ac — abc — bc — ba + bac + cb — ca
\)

3. Группировка и упрощение:
— \(ab\) и \(-ba\) уничтожаются: \(ab — ba = 0\).
— \(ac\) и \(-ca\) уничтожаются: \(ac — ca = 0\).
— \(-abc\) и \(bac\) уничтожаются: \(-abc + bac = 0\).
— \(-bc\) и \(cb\) уничтожаются: \(-bc + cb = 0\).

Таким образом, после упрощения всех членов выражения, мы получаем 0.