Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 706 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите, что при любом значении х:
а) значение выражения (x — 3)(x + 7) — (x + 5)(x — 1) равно -16;
б) значение выражения х⁴ — (x² — 7)(x² + 7) равно 49.
а) (x — 3)(x + 7) — (x + 5)(x — 1) = x² — 3x — 21 + 7x — (x² + 5x — x — 5) =
= x² + 4x — 21 — x² — 4x + 5 = -16
б) x⁴ — (x² — 7)(x² + 7) = x⁴ — (x⁴ — 7x² + 7x² — 49) = x⁴ — x⁴ + 49 = 49
а) Доказать, что (x — 3)(x + 7) — (x + 5)(x — 1) = -16
Мы докажем это, раскрывая скобки и упрощая выражение шаг за шагом.
Шаг 1. Раскрываем первую часть: (x — 3)(x + 7)
Чтобы раскрыть скобки, используем распределительное свойство: каждое слагаемое из первой скобки умножаем на каждое слагаемое из второй скобки. То есть:
(x — 3)(x + 7) = x * x + x * 7 + (-3) * x + (-3) * 7
Теперь расписываем каждое произведение:
x * x = x²,
x * 7 = 7x,
(-3) * x = -3x,
(-3) * 7 = -21
Складываем всё вместе:
(x — 3)(x + 7) = x² + 7x — 3x — 21
Приводим подобные члены (7x — 3x):
(x — 3)(x + 7) = x² + 4x — 21
Шаг 2. Раскрываем вторую часть: (x + 5)(x — 1)
Аналогично, каждое слагаемое из первой скобки умножаем на каждое слагаемое из второй скобки:
(x + 5)(x — 1) = x * x + x * (-1) + 5 * x + 5 * (-1)
Теперь расписываем каждое произведение:
x * x = x²,
x * (-1) = -x,
5 * x = 5x,
5 * (-1) = -5
Складываем всё вместе:
(x + 5)(x — 1) = x² — x + 5x — 5
Приводим подобные члены (-x + 5x):
(x + 5)(x — 1) = x² + 4x — 5
Шаг 3. Вычитаем вторую часть из первой
Теперь подставляем выражения, которые мы получили:
(x — 3)(x + 7) — (x + 5)(x — 1) = (x² + 4x — 21) — (x² + 4x — 5)
Раскрываем скобки у второго выражения (меняем знаки внутри скобок):
(x² + 4x — 21) — (x² + 4x — 5) = x² + 4x — 21 — x² — 4x + 5
Теперь упрощаем, собирая подобные члены:
x² — x² = 0,
4x — 4x = 0,
-21 + 5 = -16
Итак:
(x — 3)(x + 7) — (x + 5)(x — 1) = -16
Ответ: доказано, что это выражение равно -16.
б) Доказать, что x⁴ — (x² — 7)(x² + 7) = 49
Теперь переходим ко второму выражению.
Шаг 1. Раскрываем произведение (x² — 7)(x² + 7)
Обратите внимание, что это произведение имеет вид разности квадратов:
(a — b)(a + b) = a² — b²
Здесь a = x², b = 7. Значит:
(x² — 7)(x² + 7) = (x²)² — (7)²
Вычисляем:
(x²)² = x⁴,
7² = 49
Подставляем:
(x² — 7)(x² + 7) = x⁴ — 49
Шаг 2. Подставляем в исходное выражение
Теперь подставляем это в исходное выражение:
x⁴ — (x² — 7)(x² + 7)
Вместо (x² — 7)(x² + 7) подставляем x⁴ — 49:
x⁴ — (x⁴ — 49)
Раскрываем скобки (меняем знак перед каждым членом внутри скобок):
x⁴ — x⁴ + 49
Упрощаем, собирая подобные члены:
x⁴ — x⁴ = 0
Остается:
0 + 49 = 49
Ответ: доказано, что x⁴ — (x² — 7)(x² + 7) = 49
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.