ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 716 Макарычев — Подробные Ответы

Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух остальных.

\( (n — 1), n, (n + 1) \) — три последовательные натуральные числа
\( (n — 1)^2 + 65 = n(n + 1) \)
\( (n — 1)(n — 1) + 65 = n^2 + n \)
\( n^2 — n — n + 1 + 65 = n^2 + n \)
\( n^2 — 2n — n^2 — n = -1 — 65 \)
\( -3n = -66 \)
\( n = 22 \) — второе число
\( 22 — 1 = 21 \) — первое число
\( 22 + 1 = 23 \) — третье число

Ответ: \( 21, 22 \) и \( 23 \).

Рассмотрим задачу. Нам нужно найти три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух остальных.

Обозначим эти три последовательных числа как \( n — 1 \), \( n \), \( n + 1 \). Здесь \( n \) — это среднее число из трех.

Согласно условию, квадрат меньшего числа \( (n — 1)^2 \) на 65 меньше произведения двух остальных чисел \( n(n + 1) \). Это можно записать в виде уравнения:
\( (n — 1)^2 + 65 = n(n + 1) \).

Теперь раскроем скобки и упростим это уравнение. Сначала раскроем квадрат \( (n — 1)^2 \):
\( (n — 1)^2 = (n — 1)(n — 1) = n^2 — 2n + 1. \)

Подставим это выражение в уравнение:
\( n^2 — 2n + 1 + 65 = n(n + 1). \)

Упростим левую часть:
\( n^2 — 2n + 66 = n(n + 1). \)

Теперь раскроем скобки в правой части:
\( n(n + 1) = n^2 + n. \)

Подставим это в уравнение:
\( n^2 — 2n + 66 = n^2 + n. \)

Вычтем \( n^2 \) из обеих частей уравнения:
\( -2n + 66 = n. \)

Перенесем \( n \) в левую часть:
\( -2n — n + 66 = 0. \)

Сложим подобные слагаемые:
\( -3n + 66 = 0. \)

Перенесем \( 66 \) в правую часть:
\( -3n = -66. \)

Разделим обе части на \(-3\):
\( n = 22. \)

Таким образом, найдено среднее число \( n = 22 \). Теперь определим остальные два числа:
Первое число: \( n — 1 = 22 — 1 = 21. \)
Третье число: \( n + 1 = 22 + 1 = 23. \)

Итак, три последовательных натуральных числа — это \( 21, 22 \) и \( 23 \).

Проверим условие задачи. Квадрат меньшего числа равен:
\( (n — 1)^2 = 21^2 = 441. \)

Произведение двух остальных чисел равно:
\( n(n + 1) = 22 \cdot 23 = 506. \)

Разность между произведением двух остальных чисел и квадратом меньшего равна:
\( 506 — 441 = 65. \)

Условие выполнено, значит, ответ правильный.

Ответ: \( 21, 22 \) и \( 23 \).