ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 747 Макарычев — Подробные Ответы

Одно из двух целых чисел при делении на 9 даёт остаток 7, а другое даёт остаток 5. Какой остаток получится при делении на 9 их произведения?

По условию \( a = 9x + 7, b = 9y + 5 \)

\( ab = (9x + 7)(9y + 5) = 81xy + 63y + 45x + 35 =\)
\(= 9(9xy + 7y + 5x + 3) + 8 \)

Ответ: остаток равен \( 8 \)

1. Исходные условия:

У нас есть два числа. Первое число \( a \) при делении на \( 9 \) дает остаток \( 7 \), что можно записать как
\( a = 9x + 7 \)
где \( x \) — некоторое целое число.

Второе число \( b \) при делении на \( 9 \) дает остаток \( 5 \), что можно записать как
\( b = 9y + 5 \)
где \( y \) — некоторое целое число.

2. Произведение чисел:

Найдем произведение этих чисел:
\( ab = (9x + 7)(9y + 5) \)

3. Раскрытие скобок:

Раскроем скобки, применяя распределительное свойство умножения:
\( ab = 9x \cdot 9y + 9x \cdot 5 + 7 \cdot 9y + 7 \cdot 5 \)

Это преобразуется в:
\( ab = 81xy + 45x + 63y + 35 \)

4. Перегруппировка и выделение кратных девяти:

Теперь мы можем выделить части, которые делятся на \( 9 \):
— Первые три слагаемых \( 81xy \), \( 45x \), и \( 63y \) делятся на \( 9 \).
— Остается \( 35 \), которое можно разложить на сумму двух чисел: \( 27 + 8 \), где \( 27 \) делится на \( 9 \).

Таким образом, мы можем переписать выражение как:
\( ab = (81xy + 45x + 63y + 27) + 8 \)

5. Выделение общего множителя:

Выделим общий множитель \( 9 \) из первой части выражения:
\( ab = 9(9xy + 5x + 7y + 3) + 8 \)

6. Определение остатка:

Из этого выражения видно, что вся часть в скобках умножена на \( 9 \) и делится на \( 9 \) без остатка. Следовательно, остаток при делении всего выражения на \( 9 \) равен остатку от числа, которое не делится нацело, то есть от числа \( 8 \).

Таким образом, остаток при делении произведения \( ab \) на \( 9 \) равен \( 8 \).