ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 749 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.

Чтобы произведение \( n(2n + 1)(7n + 1) \) делилось на \( 6 \), оно должно делиться на \( 2 \) и \( 3 \).

1) Делимость на \( 2 \):
— Если \( n \) четное, то делится на \( 2 \).
— Если \( n \) нечетное, то \( 7n + 1 \) четное, значит делится на \( 2 \).

2) Делимость на \( 3 \):
— Если \( n \) делится на \( 3 \), то и всё произведение делится на \( 3 \).
— Если \( n \) не делится на \( 3 \), возможны остатки \( 1 \) или \( 2 \):
— При остатке \( 1 \): \( n = 3x + 1 \), тогда \( 2n + 1 \) делится на \( 3 \).
— При остатке \( 2 \): \( n = 3x + 2 \), тогда \( 7n + 1 \) делится на \( 3 \).

Вывод: произведение делится на \( 2 \) и на \( 3 \), поэтому делится на \( 6 \).

Чтобы доказать делимость на \( 6 \), необходимо показать, что произведение делится как на \( 2 \), так и на \( 3 \).

1. Делимость на \( 2 \):

— Если \( n \) является четным числом, то \( n \) делится на \( 2 \). Следовательно, произведение \( n(2n + 1)(7n + 1) \) также будет делиться на \( 2 \), поскольку один из множителей делится на \( 2 \).

— Если \( n \) является нечетным числом, то выражение \( 7n + 1 \) будет четным. Это происходит потому, что произведение нечетного числа и \( 7 \) остается нечетным, и добавление \( 1 \) делает его четным. Таким образом, \( 7n + 1 \) делится на \( 2 \), а значит, и все произведение делится на \( 2 \).

Таким образом, мы доказали, что произведение делится на \( 2 \).

2. Делимость на \( 3 \):

— Если \( n \) делится на \( 3 \), то произведение \( n(2n + 1)(7n + 1) \) также будет делиться на \( 3 \), так как один из множителей делится на \( 3 \).

— Если \( n \) не делится на \( 3 \), возможны остатки при делении: \( 1 \) или \( 2 \).

— Остаток \( 1 \): Пусть \( n = 3x + 1 \). Тогда:
\( 2n + 1 = 2(3x + 1) + 1 = 6x + 2 + 1 = 6x + 3 = 3(2x + 1) \)
Таким образом, \( 2n + 1 \) делится на \( 3 \), следовательно, все произведение делится на \( 3 \).

— Остаток \( 2 \): Пусть \( n = 3x + 2 \). Тогда:
\( 7n + 1 = 7(3x + 2) + 1 = 21x + 14 + 1 = 21x + 15 = 3(7x + 5) \)
Таким образом, \( 7n + 1 \) делится на \( 3 \), следовательно, все произведение делится на \( 3 \).

Таким образом, мы доказали, что произведение делится на \( 3 \).

Вывод: Поскольку произведение делится и на \( 2 \), и на \( 3 \), оно делится на их произведение, то есть на \( 6 \).