ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 757 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что при любом значении а сумма многочленов \( 1,6a^5 — 1\frac{1}{3}a^4 — 3,4a^3 — a^2 — 1 \) и \( -1\frac{3}{5}a^5 — \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3 \) принимает отрицательное значение.

\( (1,6a^5 — 1\frac{1}{3}a^4 — 3,4a^3 — a^2 — 1) + (-1\frac{3}{5}a^5 — \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3) =\) \(= 1,6a^5 — 1\frac{1}{3}a^4 — 3,4a^3 — a^2 — 1 — 1,6a^5 — \frac{2}{3}a^4 + 3,4a^3 = -2a^4 — a^2 — 1 \)

т.к. \( a^4 \ge 0, a^2 \ge 0, \) то \( -2a^4 \le 0 \) и \( -a^2 \le 0, \) тогда \( -2a^4 — a^2 — 1 < 0 \) при любых значениях \( a \).

1. Рассмотрим сумму многочленов:

\((1.6a^5 — 1\frac{1}{3}a^4 — 3.4a^3 — a^2 — 1) + (-1\frac{3}{5}a^5 — \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3)\)

2. Преобразуем смешанные числа и дроби, где это возможно:

— \(1\frac{3}{5} = 1.6\)
— \(3\frac{2}{5} = 3.4\)

3. Подставляем эти значения в выражение:

\((1.6a^5 — 1\frac{1}{3}a^4 — 3.4a^3 — a^2 — 1) + (-1.6a^5 — \frac{2}{3}a^4 + 3.4a^3)\)

4. Раскроем скобки и упростим выражение:

\(= 1.6a^5 — 1\frac{1}{3}a^4 — 3.4a^3 — a^2 — 1 — 1.6a^5 — \frac{2}{3}a^4 + 3.4a^3\)

5. Группируем подобные члены:

— Члены с \( a^5 \): \(1.6a^5 — 1.6a^5 = 0\)
— Члены с \( a^4 \): \(-1\frac{1}{3}a^4 — \frac{2}{3}a^4 = -2a^4\)
— Члены с \( a^3 \): \(-3.4a^3 + 3.4a^3 = 0\)
— Члены с \( a^2 \): \(-a^2\)
— Свободный член: \(-1\)

Итак, у нас остается выражение:

\(-2a^4 — a^2 — 1\)

6. Анализируем знак выражения:

Поскольку \( a^4 \geq 0 \) и \( a^2 \geq 0 \) для всех значений \( a \), то:

— \(-2a^4\) всегда меньше или равно нулю.
— \(-a^2\) также всегда меньше или равно нулю.

Таким образом, сумма \(-2a^4 — a^2 — 1\) всегда меньше нуля, так как вычитаем единицу из суммы неотрицательных чисел.

Следовательно, при любом значении \( a \) выражение \(-2a^4 — a^2 — 1\) принимает отрицательное значение.