ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 769 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения:
а) \(3(x^2 — x + 1) — 0,5x(4x — 6)\) является положительным числом;
б) \(y(2 + y — y^3) — \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)\) является отрицательным числом.

а) \(3(x^2 — x + 1) — 0,5x(4x — 6) = 3x^2 — 3x + 3 — 2x^2 +\)
\(+ 3x = x^2 + 3 > 0\) при любых значениях переменной \(x\)

б) \(y(2 + y — y^2) — \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) = 2y + y^2 -\)
\(- y^3 — 4 — 2y — y^2 = -y^3 — 4 < 0\) при любых значениях переменной \(y\)

а) Докажем, что \(3(x^2 — x + 1) — 0,5x(4x — 6)\) является положительным числом при любых значениях переменной \(x\).

1. Раскроем скобки и упростим выражение:
\(3(x^2 — x + 1) = 3x^2 — 3x + 3\)
\(-0,5x(4x — 6) = -2x^2 + 3x\)

2. Сложим результаты:
\(3x^2 — 3x + 3 — 2x^2 + 3x = x^2 + 3\)

3. Мы видим, что итоговое выражение — это \(x^2 + 3\). Поскольку \(x^2\) всегда неотрицательно (оно равно нулю только при \(x = 0\)), а добавление 3 делает его всегда положительным, то \(x^2 + 3 > 0\) при любых значениях \(x\).

б) Докажем, что \(y(2 + y — y^2) — \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)\) является отрицательным числом при любых значениях переменной \(y\).

1. Раскроем скобки и упростим выражение:
\(y(2 + y — y^2) = 2y + y^2 — y^3\)
\(-\frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) = -4 — 2y — y^2\)

2. Сложим результаты:
\(2y + y^2 — y^3 — 4 — 2y — y^2 = -y^3 — 4\)

3. Итоговое выражение — это \(-y^3 — 4\). Поскольку \(-y^3\) может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака \(y\), но \(-4\) — это постоянное отрицательное число, то сумма \(-y^3 — 4\) всегда будет меньше нуля. Следовательно, \(-y^3 — 4 < 0\) при любых значениях \(y\).