ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 784 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) 7¹⁶ + 7¹⁴ делится на 50;
б) 5³¹ — 5²⁹ делится на 100;
в) 25⁹ + 5¹⁷ делится на 30;
г) 27¹⁰ — 9¹⁴ делится на 24;
д) 12¹³ — 12¹² + 12¹¹ делится на 7 и на 19;
е) 11⁹ — 11⁸ + 11⁷ делится на 3 и на 37.

а) 7¹⁶ + 7¹⁴ = 7¹⁴(7² + 1) = 7¹⁴ * 50 — делится на 50

б) 5³¹ — 5²⁹ = 5²⁹ (5² — 1) = 5²⁹ * 24 = 5²⁸ * 5 * 24 =
= 5²⁸ * 120 — делится на 120

в) 25⁹ + 5¹⁷ = (5²)⁹ + 5¹⁷ = 5¹⁸ + 5¹⁷ = 5¹⁷(5 + 1) = 5¹⁷ * 6 =
= 5¹⁶ * 5 * 6 = 5¹⁶ * 30 — делится на 30

г) 27¹⁰ — 9¹⁴ = (3³)¹⁰ — (3²)¹⁴ = 3³⁰ — 3²⁸ = 3²⁸(3² — 1) = 3²⁸ * 8 =
= 3²⁷ * 3 * 8 = 3²⁷ * 24 — делится на 24

д) 12¹³ — 12¹² + 12¹¹ = 12¹¹ (12² — 12 + 1) = 12¹¹ * 133 =
= 12¹¹ * 7 * 19 — делится на 7 и на 19

е) 11⁹ — 11⁸ + 11⁷ = 11⁷(11² — 11 + 1) = 11⁷ * 111 =
= 11⁷ * 3 * 37 — делится на 3 и на 37

а) 7¹⁶ + 7¹⁴

1. Рассмотрим два члена выражения: 7¹⁶ и 7¹⁴. Заметим, что оба члена содержат общий множитель 7¹⁴.
2. Вынесем общий множитель 7¹⁴ за скобки. Для этого из степени каждого члена вычитаем степень общего множителя:
— В первом члене 7¹⁶: 16 — 14 = 2, поэтому остаётся 7².
— Во втором члене 7¹⁴: 14 — 14 = 0, а 7⁰ = 1.
3. Таким образом, выражение превращается в:
7¹⁶ + 7¹⁴ = 7¹⁴(7² + 1).
4. Теперь вычислим выражение в скобках:
— 7² = 49, значит 7² + 1 = 49 + 1 = 50.
5. Подставим это обратно в выражение:
7¹⁶ + 7¹⁴ = 7¹⁴50.
6. Так как выражение содержит множитель 50, оно делится на 50.

б) 5³¹ — 5²⁹

1. Рассмотрим два члена: 5³¹ и 5²⁹. Заметим, что оба члена содержат общий множитель 5²⁹.
2. Вынесем общий множитель 5²⁹ за скобки. Для этого из степени каждого члена вычитаем степень общего множителя:
— В первом члене 5³¹: 31 — 29 = 2, поэтому остаётся 5².
— Во втором члене 5²⁹: 29 — 29 = 0, а 5⁰ = 1.
3. Таким образом, выражение превращается в:
5³¹ — 5²⁹ = 5²⁹(5² — 1).
4. Вычислим выражение в скобках:
— 5² = 25, значит 5² — 1 = 25 — 1 = 24.
5. Подставим это обратно:
5³¹ — 5²⁹ = 5²⁹24.
6. Разложим множитель дальше:
— Запишем выражение как (5²⁸ × 5) × (3 × 8). Это равно:
(5²⁸ × (5 × (3 × 8))) = (5²⁸ × (120)).
7. Так как выражение содержит множитель 120, оно делится на это число.

в) 25⁹ + 5¹⁷

1. Представим 25 как 5². Тогда 25⁹ можно записать как (5²)⁹, что равно 5¹⁸.
2. Выражение превращается в 5¹⁸ + 5¹⁷. Заметим, что оба члена содержат общий множитель 5¹⁷.
3. Вынесем 5¹⁷ за скобки: 5¹⁸ + 5¹⁷ = 5¹⁷(5 + 1).
4. Упростим выражение в скобках: 5 + 1 = 6. Получаем: 5¹⁷6.
5. Разложим дальше: 5¹⁷6 = 5¹⁶ × 5 × 6 = 5¹⁶ × 30.
6. Так как выражение содержит множитель 30, оно делится на 30.

г) 27¹⁰ — 9¹⁴

1. Представим 27 как 3³ и 9 как 3². Тогда 27¹⁰ можно записать как (3³)¹⁰, что равно 3³⁰, а 9¹⁴ как (3²)¹⁴, что равно 3²⁸.
2. Выражение превращается в 3³⁰ — 3²⁸. Заметим, что оба члена содержат общий множитель 3²⁸.
3. Вынесем 3²⁸ за скобки: 3³⁰ — 3²⁸ = 3²⁸(3² — 1).
4. Упростим выражение в скобках: 3² = 9, значит 3² — 1 = 9 — 1 = 8. Получаем: 3²⁸8.
5. Разложим дальше: 3²⁸8 = 3²⁷ × 3 × 8 = 3²⁷ × 24.
6. Так как выражение содержит множитель 24, оно делится на 24.

д) 12¹³ — 12¹² + 12¹¹

1. Заметим, что у всех трёх членов есть общий множитель 12¹¹. Вынесем его за скобки:
12¹³ — 12¹² + 12¹¹ = 12¹¹(12² — 12 + 1).
2. Вычислим выражение в скобках:
— Сначала найдём квадрат числа: 12² = 144.
— Подставим: 12² — 12 + 1 = 144 — 12 + 1 = 133.
3. Получаем: 12¹³ — 12¹² + 12¹¹ = 12¹¹ × 133.
4. Разложим число 133 на простые множители:
— Проверим делимость на простые числа: делится на 7 (133 ÷ 7 = 19).
— Значит, разложение: 133 = 7 × 19.
5. Подставим это обратно:
— Выражение становится: 12¹³ — 12¹² + 12¹¹ = 12¹¹ × 7 × 19.
6. Таким образом, выражение делится на оба числа — на 7 и на 19.

е) 11⁹ — 11⁸ + 11⁷

1. Заметим, что у всех трёх членов есть общий множитель 11⁷. Вынесем его за скобки:
— Получаем: 11⁹ — 11⁸ + 11⁷ = 11⁷(11² — 11 + 1).
2. Вычислим выражение в скобках:
— Сначала найдём квадрат числа: 11² = 121.
— Подставим: 11² — 11 + 1 = 121 — 11 + 1 = 111.
3. Получаем: 11⁹ — 11⁸ + 11⁷ = 11⁷ × 111.
4. Разложим число 111 на простые множители:
— Проверим делимость на простые числа: делится на три (111 ÷ 3 = 37).
— Значит, разложение: 111 = 3 × 37.
5. Подставим это обратно:
— Выражение становится: 11⁹ — 11⁸ + 11⁷ = 11⁷ × 3 × 37.
6. Таким образом, выражение делится на оба числа — на три и на тридцать семь.