ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 790 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.

Пусть \(x\) — целое число, а \(x^2\) — его квадрат. Рассмотрим сумму \(x + x^2\), которую можно переписать как \(x(1 + x)\). Это произведение двух последовательных целых чисел, из которых одно всегда является четным и делится на \(2\). Следовательно, по свойству делимости, всё произведение \(x(1 + x)\) также делится на \(2\) при любом целом \(x\).

Шаг 1. Преобразуем выражение:
Рассмотрим сумму \(x + x^2\).
Её можно записать в виде произведения:
\((x + x^2 = x(1 + x))\).
Здесь \(x\) — одно из множителей, а \(1 + x\) — второй множитель.

Шаг 2. Свойство последовательных чисел:
В выражении \(x(1 + x)\) множители \(x\) и \(1 + x\) являются последовательными целыми числами.
То есть, если \(x\) — целое число, то \(1 + x\) также будет целым числом, и эти два числа идут друг за другом.

Шаг 3. Свойство четности последовательных чисел:
Для любых двух последовательных целых чисел одно из них всегда четное.
— Если \(x\) четное (то есть делится на \(2\)), то произведение \(x(1 + x)\) будет делиться на \(2\), так как уже \(x\) делится на \(2\).
— Если \(x\) нечетное, то число \(1 + x\) становится четным (так как прибавление единицы к нечетному числу даёт четное число). В этом случае произведение \(x(1 + x)\) также делится на \(2\), потому что один из множителей \((1 + x)\) делится на \(2\).

Шаг 4. Свойство делимости произведения:
Если хотя бы один из множителей произведения делится на \(2\), то всё произведение делится на \(2\).
Таким образом, выражение \(x(1 + x)\) всегда делится на \(2\), независимо от того, чётное или нечётное значение имеет \(x\).

Шаг 5. Вывод:
Так как сумма \((x + x^2 = x(1 + x))\), а это произведение всегда делится на \(2\), то сумма \(x + x^2\) является чётным числом для любого целого \(x\).