ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 791 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что разность чисел \(\overline{abc}\) и \(\overline{cba}\), где \(a \neq 0\), \(c \neq 0\), кратна \(11\).

\( \overline{abc} — \overline{cba} = 100a + 10b + c — (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c — 100c -\)
\(- 10b — a = 99a — 99c = 99(a — c) = 11 \cdot 9 \cdot (a — c) \) — кратно \(11\).

Шаг 1. Запись чисел в развернутом виде
Число \(\overline{abc}\) можно записать как \(100a + 10b + c\), где:

• \(a\) — цифра сотен,
• \(b\) — цифра десятков,
• \(c\) — цифра единиц.

Число \(\overline{cba}\) можно записать как \(100c + 10b + a\), где:

• \(c\) — цифра сотен,
• \(b\) — цифра десятков,
• \(a\) — цифра единиц.

Шаг 2. Найдем разность \(\overline{abc} — \overline{cba}\)
Вычитаем из числа \(\overline{abc}\) число \(\overline{cba}\):
\(
\overline{abc} — \overline{cba} = (100a + 10b + c) — (100c + 10b + a).
\)

Раскроем скобки:
\(
\overline{abc} — \overline{cba} = 100a + 10b + c — 100c — 10b — a.
\)

Приведем подобные слагаемые:

• \(100a — a = 99a\),
• \(10b — 10b = 0\),
• \(c — 100c = -99c\).

Получаем:
\(
\overline{abc} — \overline{cba} = 99a — 99c.
\)

Шаг 3. Вынесем общий множитель
В выражении \(99a — 99c\) вынесем общий множитель \(99\):
\(
99a — 99c = 99(a — c).
\)

Шаг 4. Разложим число \(99\)
Число \(99\) можно разложить на множители:
\(
99 = 11 \cdot 9.
\)

Подставим это в выражение:
\(
99(a — c) = 11 \cdot 9 \cdot (a — c).
\)

Шаг 5. Анализ делимости
Видно, что произведение \(11 \cdot 9 \cdot (a — c)\) всегда делится на \(11\), так как оно содержит множитель \(11\).
Таким образом, разность \(\overline{abc} — \overline{cba}\) всегда кратна \(11\), независимо от значений \(a, b, c\), при условии, что \(a \neq 0\) и \(c \neq 0\).

Вывод:
Мы доказали, что разность чисел \(\overline{abc}\) и \(\overline{cba}\) всегда кратна \(11\):
\(
\overline{abc} — \overline{cba} = 11 \cdot 9 \cdot (a — c).
\)