ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 792 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;
б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.

а) \(2^x, 2^{x+1}, 2^{x+2}\) — три последовательные степени числа 2
\(2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 2^x(1 + 2 + 2^2) = 2^x \cdot 7 = 2^{x-1} \cdot 2 \cdot 7 = 2^{x-1} \cdot 14\) — делится на 14

б) \(5^n, 5^{n+1}\) — две последовательные степени числа 5
\(5^n + 5^{n+1} = 5^n(1 + 5) = 5^n \cdot 6 = 5^{n-1} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{n-1} \cdot 30\) — делится на 30

Часть а. Сумма трёх последовательных степеней числа \(2\) делится на \(14\)

Этап 1. Запишем три последовательные степени числа \(2\)
Пусть \(2^x, 2^{x+1}, 2^{x+2}\) — это три последовательные степени числа \(2\), где \(x\) — натуральное число.
Их сумма будет:
\(
2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2}.
\)

Этап 2. Вынесем общий множитель
Во всех слагаемых есть общий множитель \(2^x\). Вынесем его за скобки:
\(
2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 2^x(1 + 2 + 4).
\)
Здесь:

• \(1\) — это коэффициент перед \(2^x\),
•  \(2\) — это коэффициент перед \(2^{x+1}\),
•  \(4 = 2^2\) — это коэффициент перед \(2^{x+2}\).

Этап 3. Посчитаем выражение в скобках
Теперь вычислим сумму чисел в скобках:
\(
1 + 2 + 4 = 7.
\)
Подставим обратно:
\(
2^x(1 + 2 + 4) = 2^x \cdot 7.
\)

Этап 4. Представим выражение через \(14\)
Заметим, что \(7 \cdot 2 = 14\). Поэтому можно переписать так:
\(
2^x \cdot 7 = (2^{x-1} \cdot 2) \cdot 7 = 2^{x-1} \cdot 14.
\)
Здесь мы разделили множитель \(2^x\) на два, чтобы получить \(14\) в явном виде.

Этап 5. Проверим делимость на \(14\)
Так как выражение содержит множитель \(14\), оно гарантированно делится на \(14\), независимо от значения \(x\).

Вывод:
Сумма трёх последовательных степеней числа \(2\) делится на \(14\).

Часть б. Сумма двух последовательных степеней числа \(5\) делится на \(30\)

Этап 1. Запишем две последовательные степени числа \(5\)
Пусть \(5^n, 5^{n+1}\) — это две последовательные степени числа \(5\), где \(n\) — натуральное число.
Их сумма будет:
\(
5^n + 5^{n+1}.
\)

Этап 2. Вынесем общий множитель
Во всех слагаемых есть общий множитель \(5^n\). Вынесем его за скобки:
\(
5^n + 5^{n+1} = 5^n(1 + 5).
\)

Этап 3. Посчитаем выражение в скобках
Теперь вычислим сумму чисел в скобках:
\(
1 + 5 = 6.
\)
Подставим обратно:
\(
5^n(1 + 5) = 5^n \cdot 6.
\)

Этап 4. Представим выражение через \(30\)
Заметим, что \(6 \cdot 5 = 30\). Поэтому можно переписать так:
\(
5^n \cdot 6 = (5^{n-1} \cdot 5) \cdot 6 = 5^{n-1} \cdot 30.
\)
Здесь мы разделили множитель \(5^n\) на один из множителей (\(5^{n-1}\)).

Этап 5. Проверим делимость на \(30\)
Так как выражение содержит множитель \(30\), оно гарантированно делится на \(30\), независимо от значения \(n\).

Вывод:
Сумма двух последовательных степеней числа \(5\) делится на \(30\).