ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 795 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что выражение \((y + 8)(y — 7) — 4(0,25y — 16)\) при любом значении \(y\) принимает положительные значения.

\((y + 8)(y — 7) — 4(0,25y — 16) = y² + 8y — 7y — 56 — y + 64 =\)
\(= y² + 8 > 0\) при любых значениях переменной

1. Исходное выражение:

\(
(y + 8)(y — 7) — 4(0.25y — 16)
\)

Наша цель — доказать, что это выражение всегда положительно для любых значений \(y\).

2. Раскрываем первую часть: \((y + 8)(y — 7)\):

По правилу раскрытия скобок:
\(
(y + 8)(y — 7) = y \cdot y + y \cdot (-7) + 8 \cdot y + 8 \cdot (-7)
\)

Считаем:
\(
y \cdot y = y², \quad y \cdot (-7) = -7y, \quad 8 \cdot y = 8y, \quad 8 \cdot (-7) = -56
\)

Складываем:
\(
(y + 8)(y — 7) = y² — 7y + 8y — 56 = y² + y — 56
\)

3. Раскрываем вторую часть: \(4(0.25y — 16)\):

Сначала раскрываем скобки:
\(
4(0.25y — 16) = 4 \cdot 0.25y — 4 \cdot 16
\)

Считаем:
\(
4 \cdot 0.25y = y, \quad 4 \cdot (-16) = -64
\)

Таким образом:
\(
4(0.25y — 16) = y — 64
\)

4. Подставляем результаты в исходное выражение:

Теперь подставляем обе части в исходное выражение:
\(
(y + 8)(y — 7) — 4(0.25y — 16) = (y² + y — 56) — (y — 64)
\)

5. Упрощаем выражение:

Раскрываем скобки и упрощаем:
\(
(y² + y — 56) — (y — 64) = y² + y — 56 — y + 64
\)

Складываем подобные члены:
\(
y² + (y — y) + (-56 + 64) = y² + 8
\)

Итак, выражение упрощается до:
\(
y² + 8
\)

6. Анализ результата:

Рассмотрим полученное выражение \(y² + 8\):
Квадрат любого числа (\(y²\)) всегда неотрицателен (\(y² \geq 0\)).
Следовательно, \(y² + 8 \geq 8\), что всегда больше нуля при любых значениях \(y\).

7. Вывод:

Выражение \((y + 8)(y — 7) — 4(0.25y — 16)\) всегда принимает положительные значения, так как оно равно \(y² + 8 > 0\) для любого значения переменной \(y\).