ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 807 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:
а) \( a^3 — 2a^2 + 2a — 4 \);
б) \( x^3 — 12 + 6x^2 — 2x \);
в) \( c^4 — 2c^2 + c^3 — 2c \);
г) \( -y^6 — y^5 + y^4 + y^3 \);
д) \( a^2b — b^2c + a^2c — bc^2 \);
е) \( 2x^3 + xy^2 — 2x^2y — y^3 \);
ж) \( 16ab^2 — 10c^3 + 32ac^2 — 5b^2c \);
з) \( 6a^3 — 21a^2b + 2ab^2 — 7b^3 \).

а) \( a^3 — 2a^2 + 2a — 4 = a^2(a — 2) + 2(a — 2) = (a — 2)(a^2 + 2) \)

б) \( x^3 — 12 + 6x^2 — 2x = (x^3 + 6x^2) + (-12 — 2x) =\)
\(= x^2(x + 6) — 2(6 + x) = (x + 6)(x^2 — 2) \)

в) \( c^4 — 2c^2 + c^3 — 2c = (c^4 + c^3) + (-2c^2 — 2c) =\)
\(= c^3(c + 1) — 2c(c + 1) = (c + 1)(c^3 — 2c) = c(c + 1)(c^2 — 2) \)

г) \( -y^6 — y^5 + y^4 + y^3 = (-y^6 — y^5) + (y^4 + y^3) =\)
\(= -y^5(y + 1) + y^3(y + 1) = (y + 1)(y^3 — y^5) = y^3(y + 1)(1 — y^2) \)

д) \( a^2b — b^2c + a^2c — bc^2 = (a^2b + a^2c) + (-b^2c — bc^2) =\)
\(= a^2(b + c) — bc(b + c) = (b + c)(a^2 — bc) \)

е) \( 2x^3 + xy^2 — 2x^2y — y^3 = (2x^3 — 2x^2y) + (xy^2 — y^3) =\)
\(= 2x^2(x — y) + y^2(x — y) = (x — y)(2x^2 + y^2) \)

ж) \( 16ab^2 — 10c^3 + 32ac^2 — 5b^2c = (16ab^2 + 32ac^2) +\)
\(+ (-10c^3 — 5b^2c) = 16a(b^2 + 2c^2) — 5c(2c^2 + b^2) = (b^2 + 2c^2)(16a — 5c) \)

з) \( 6a^3 — 21a^2b + 2ab^2 — 7b^3 = (6a^3 + 2ab^2) + (-21a^2b — 7b^3) =\)
\(= 2a(3a^2 + b^2) — 7b(3a^2 + b^2) = (3a^2 + b^2)(2a — 7b) \)

а) Разложить на множители многочлен \( a^3 — 2a^2 + 2a — 4 \).

1. Исходное выражение:
\(
a^3 — 2a^2 + 2a — 4
\)

2. Группировка членов:
Разделим многочлен на две группы:
\(
(a^3 — 2a^2) + (2a — 4)
\)

3. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( a^3 — 2a^2 \)) общий множитель — это \( a^2 \):
\(
a^3 — 2a^2 = a^2(a — 2)
\)
— Во второй группе (\( 2a — 4 \)) общий множитель — это \( 2 \):
\(
2a — 4 = 2(a — 2)
\)

4. Объединяем выражение:
Теперь у нас есть общий множитель \( (a — 2) \):
\(
a^2(a — 2) + 2(a — 2) = (a — 2)(a^2 + 2)
\)

б) Разложить на множители многочлен \( x^3 — 12 + 6x^2 — 2x \).

1. Исходное выражение:
\(
x^3 — 12 + 6x^2 — 2x
\)

2. Группировка членов:
Разделим многочлен на две группы:
\(
(x^3 + 6x^2) + (-12 — 2x)
\)

3. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( x^3 + 6x^2 \)) общий множитель — это \( x^2 \):
\(
x^3 + 6x^2 = x^2(x + 6)
\)
— Во второй группе (\( -12 — 2x \)) общий множитель — это \( -2 \):
\(
-12 — 2x = -2(x + 6)
\)

4. Объединяем выражение:
Теперь у нас есть общий множитель \( (x + 6) \):
\(
x^2(x + 6) — 2(x + 6) = (x + 6)(x^2 — 2)
\)

в) Разложить на множители многочлен \( c^4 — 2c^2 + c^3 — 2c \).

1. Исходное выражение:
\(
c^4 — 2c^2 + c^3 — 2c
\)

2. Группировка членов:
Разделим многочлен на две группы:
\(
(c^4 + c^3) + (-2c^2 — 2c)
\)

3. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( c^4 + c^3 \)) общий множитель — это \( c^3 \):
\(
c^4 + c^3 = c^3(c + 1)
\)
— Во второй группе (\( -2c^2 — 2c \)) общий множитель — это \( -2c \):
\(
-2c^2 — 2c = -2c(c + 1)
\)

4. Объединяем выражение:
Теперь у нас есть общий множитель \( (c + 1) \):
\(
c^3(c + 1) — 2c(c + 1) = (c + 1)(c^3 — 2c)
\)

5. Далее разложим \( c^3 — 2c \):
Вынесем общий множитель \( c \):
\(
c^3 — 2c = c(c^2 — 2)
\)

6. Окончательное разложение:
Подставляем обратно:
\(
(c + 1)(c(c^2 — 2)) = c(c + 1)(c^2 — 2)
\)

г) Разложить на множители многочлен \( -y^6 — y^5 + y^4 + y^3 \).

1. Исходное выражение:
\(
-y^6 — y^5 + y^4 + y^3
\)

2. Группировка членов:
Разделим многочлен на две группы:
\(
(-y^6 — y^5) + (y^4 + y^3)
\)

3. Вынесем общий множитель в каждой группе:
В первой группе (\( -y^6 — y^5 \)) общий множитель — это \( -y^5 \):
\(
-y^6 — y^5 = -y^5(y + 1)
\)
Во второй группе (\( y^4 + y^3 \)) общий множитель — это \( y^3 \):
\(
y^4 + y^3 = y^3(y + 1)
\)

4. Объединяем выражение:
Теперь у нас есть общий множитель \( (y + 1) \):
\(
-y^5(y + 1) + y^3(y + 1) = (y + 1)(-y^5 + y^3)
\)

5. Вынесем общий множитель во втором множителе:
Во втором множителе (\( -y^5 + y^3 \)) общий множитель — это \( y^3 \):
\(
-y^5 + y^3 = y^3(1 — y^2)
\)

6. Итоговое разложение:
Подставляем \( y^3(1 — y^2) \) вместо \( -y^5 + y^3 \):
\(
(y + 1)(-y^5 + y^3) = (y + 1)y^3(1 — y^2)
\)

Ответ:
\(
-y^6 — y^5 + y^4 + y^3 = y^3(y + 1)(1 — y^2)
\)

д) Разложить на множители многочлен \( a^2b — b^2c + a^2c — bc^2 \).

1. Исходное выражение:
\( a^2b — b^2c + a^2c — bc^2 \)

2. Группировка членов:
Разделим многочлен на две группы:
\( (a^2b + a^2c) + (-b^2c — bc^2) \)

3. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( a^2b + a^2c \)) общий множитель — это \( a^2 \):
\( a^2b + a^2c = a^2(b + c) \)
— Во второй группе (\( -b^2c — bc^2 \)) общий мно множитель — это \( -bc \):
\( -b^2c — bc^2 = -bc(b + c) \)

4. Объединяем выражение:
Теперь у нас есть общий множитель \( (b + c) \):
\( a^2(b + c) — bc(b + c) = (b + c)(a^2 — bc) \)

5. Итоговое разложение:
\( a^2b — b^2c + a^2c — bc^2 = (b + c)(a^2 — bc) \)

е) Разложить на множители многочлен \( 2x^3 + xy^2 — 2x^2y — y^3 \).

1. Исходное выражение:
\( 2x^3 + xy^2 — 2x^2y — y^3 \)

2. Группировка членов:
Разделим многочлен на две группы:
\( (2x^3 — 2x^2y) + (xy^2 — y^3) \)

3. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( 2x^3 — 2x^2y \)) общий множитель — это \( 2x^2 \):
\( 2x^3 — 2x^2y = 2x^2(x — y) \)
— Во второй группе (\( xy^2 — y^3 \)) общий множитель — это \( y^2 \):
\( xy^2 — y^3 = y^2(x — y) \)

4. Объединяем выражение:
Теперь у нас есть общий множитель \( (x — y) \):
\( 2x^2(x — y) + y^2(x — y) = (x — y)(2x^2 + y^2) \)

5. Итоговое разложение:
\( 2x^3 + xy^2 — 2x^2y — y^3 = (x — y)(2x^2 + y^2) \)

ж) Разложить на множители многочлен \( 16ab^2 — 10c^3 + 32ac^2 — 5b^2c \).

1. Исходное выражение:
\( 16ab^2 — 10c^3 + 32ac^2 — 5b^2c \)

2. Группировка членов:
Разделим многочлен на две группы:
\( (16ab^2 + 32ac^2) + (-10c^3 — 5b^2c) \)

3. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( 16ab^2 + 32ac^2 \)) общий множитель — это \( 16a \):
\( 16ab^2 + 32ac^2 = 16a(b^2 + 2c^2) \)
— Во второй группе (\( -10c^3 — 5b^2c \)) общий множитель — это \( -5c \):
\( -10c^3 — 5b^2c = -5c(2c^2 + b^2) \)

4. Объединяем выражение:
Теперь у нас есть общий множитель \( (b^2 + 2c^2) \):
\( 16a(b^2 + 2c^2) — 5c(b^2 + 2c^2) = (b^2 + 2c^2)(16a — 5c) \)

5. Итоговое разложение:
\( 16ab^2 — 10c^3 + 32ac^2 — 5b^2c = (b^2 + 2c^2)(16a — 5c) \)

з) Разложить на множители многочлен \( 6a^3 — 21a^2b + 2ab^2 — 7b^3 \).

1. Исходное выражение:
\(
6a^3 — 21a^2b + 2ab^2 — 7b^3
\)

2. Группировка членов:
Разделим многочлен на две группы:
\(
(6a^3 + 2ab^2) + (-21a^2b — 7b^3)
\)

3. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( 6a^3 + 2ab^2 \)) общий множитель — это \( 2a \):
\(
6a^3 + 2ab^2 = 2a(3a^2 + b^2)
\)
— Во второй группе (\( -21a^2b — 7b^3 \)) общий множитель — это \( -7b \):
\(
-21a^2b — 7b^3 = -7b(3a^2 + b^2)
\)

4. Объединяем выражение:
Теперь у нас есть общий множитель \( (3a^2 + b^2) \):
\(
2a(3a^2 + b^2) — 7b(3a^2 + b^2) = (3a^2 + b^2)(2a — 7b)
\)

5. Итоговое разложение:
\(
6a^3 — 21a^2b + 2ab^2 — 7b^3 = (3a^2 + b^2)(2a — 7b)
\)