Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 813 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите, что если \( b + c = 10 \), то \( (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc \).
Воспользовавшись этой формулой, вычислите:
a) \( 23 \cdot 27 \);
б) \( 42 \cdot 48 \);
в) \( 59 \cdot 51 \);
г) \( 84 \cdot 86 \).
\( b + c = 10 \)
\( (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc \) — доказать
\( (10a + b)(10a + c) = 100a^2 + 10ab + 10ac + bc = 100a^2 + 10a(b + c) +\)
\(+ bc = 100a^2 + 10a \cdot 10 + bc = 100a^2 + 100a + bc = 100a(a + 1) + bc \) — доказано
a) \( 23 \cdot 27 = (20 + 3)(20 + 7) = 100 \cdot 2(2 + 1) + 3 \cdot 7 =\)
\(= 100 \cdot 6 + 21 = 621 \)
6) \( 42 \cdot 48 = (40 + 2)(40 + 8) = 100 \cdot 4(4 + 1) + 2 \cdot 8 =\)
\(= 100 \cdot 20 + 16 = 2016 \)
в) \( 59 \cdot 51 = (50 + 9)(50 + 1) = 100 \cdot 5(5 + 1) + 9 \cdot 1 =\)
\(= 100 \cdot 30 + 9 = 3009 \)
r) \( 84 \cdot 86 = (80 + 4)(80 + 6) = 100 \cdot 8(8 + 1) + 4 \cdot 6 =\)
\(= 100 \cdot 72 + 24 = 7224 \)
Доказательство формулы
Шаг 1: Раскрытие скобок
Рассмотрим левую часть равенства:
\( (10a + b)(10a + c). \)
Мы хотим раскрыть скобки, используя распределительный закон. Это означает, что каждый член первого множителя \( (10a + b) \) умножается на каждый член второго множителя \( (10a + c): \)
\( (10a + b)(10a + c) = (10a \cdot 10a) + (10a \cdot c) + (b \cdot 10a) + (b \cdot c). \)
Теперь вычислим каждую часть по отдельности:
- \( 10a \cdot 10a = 100a^2, \) так как \( 10a \) умножается само на себя;
- \( 10a \cdot c = 10ac, \) так как \( 10a \) умножается на \( c; \)
- \( b \cdot 10a = 10ab, \) так как \( b \) умножается на \( 10a; \)
- \( b \cdot c = bc, \) так как это произведение двух оставшихся членов.
Сложив всё, получаем:
\( (10a + b)(10a + c) = 100a^2 + 10ac + 10ab + bc. \)
Шаг 2: Группировка слагаемых
Вынесем общий множитель \( 10a \) из второго и третьего слагаемых:
\( 100a^2 + 10ac + 10ab + bc = 100a^2 + 10a(b + c) + bc. \)
Так как по условию \( b + c = 10, \) подставим это значение:
\( 100a^2 + 10a(b + c) + bc = 100a^2 + 10a \cdot 10 + bc. \)
Упростим выражение:
\( 100a^2 + 100a + bc. \)
Вынесем \( 100a \) за скобки в первых двух слагаемых:
\( 100a^2 + 100a + bc = 100a(a + 1) + bc. \)
Таким образом, доказано:
\( (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc. \)
Применение формулы
a) \( 23 \cdot 27 = (20 + 3)(20 + 7). \)
Здесь \( a = 2, b = 3, c = 7. \)
Подставим в формулу:
\( (20 + 3)(20 + 7) = 100 \cdot 2(2 + 1) + 3 \cdot 7. \)
\( = 100 \cdot 6 + 21. \)
\( = 621. \)
б) \( 42 \cdot 48 = (40 + 2)(40 + 8). \)
Здесь \( a = 4, b = 2, c = 8. \)
Подставим в формулу:
\( (40 + 2)(40 + 8) = 100 \cdot 4(4 + 1) + 2 \cdot 8. \)
\( = 100 \cdot 20 + 16. \)
\( = 2016. \)
в) \( 59 \cdot 51 = (50 + 9)(50 + 1). \)
Здесь \( a = 5, b = 9, c = 1. \)
Подставим в формулу:
\( (50 + 9)(50 + 1) = 100 \cdot 5(5 + 1) + 9 \cdot 1. \)
\( = 100 \cdot 30 + 9. \)
\( = 3009. \)
г) \( 84 \cdot 86 = (80 + 4)(80 + 6). \)
Здесь \( a = 8, b = 4, c = 6. \)
Подставим в формулу:
\( (80 + 4)(80 + 6) = 100 \cdot 8(8 + 1) + 4 \cdot 6. \)
\( = 100 \cdot 72 + 24. \)
\( = 7224. \)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.