ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 825 Макарычев — Подробные Ответы

Преобразуйте выражение в многочлен:
а) \( (-3a + 10b)² \);
б) \( (-6m — n)² \);
в) \( (8x — 0,3y)² \);
г) \( (5a + \frac{1}{15}b)² \);
д) \( (-0,2p — 10q)² \);
е) \( (0,8x — 0,1y)² \).

а) \( (-3a + 10b)² = (10b — 3a)² = (10b)² — 2 * 10b * 3a + (3a)² =\)
\(= 100b² — 60ab + 9a² \)

б) \( (-6m — n)² = (6m + n)² = (6m)² + 2 * 6m * n + n² =\)
\(= 36m² + 12mn + n² \)

в) \( (8x — 0,3y)² = (8x)² — 2 * 8x * 0,3y + (0,3y)² =\)
\(= 64x² — 4,8xy + 0,09y² \)

г) \( (5a + \frac{1}{15}b)² = (5a)² + 2 * 5a * \frac{1}{15}b + (\frac{1}{15}b)² = 25a² + \frac{2}{3}ab + \frac{1}{225}b² \)

д) \( (-0,2p — 10q)² = (0,2p + 10q)² = (0,2p)² + 2 * 0,2p * 10q +\)
\(+ (10q)² = 0,04p² + 4pq + 100q² \)

е) \( (0,8x — 0,1y)² = (0,8x)² — 2 * 0,8x * 0,1y + (0,1y)² =\)
\(= 0,64x² — 0,16xy + 0,01y² \)

Давайте подробно преобразуем каждое выражение в многочлен, используя формулы квадрата суммы и разности.

а) Выражение \( (-3a + 10b)^2 \):
Это квадрат разности, для которого используется формула:
\( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \).

1. Перепишем выражение \( (-3a + 10b)^2 \) в виде \( (10b — 3a)^2 \), так как порядок сложения или вычитания не влияет на результат.
2. Применяем формулу квадрата разности, где \( a = 10b \), \( b = 3a \):
\( (10b — 3a)^2 = (10b)^2 — 2 (10b)(3a) + (3a)^2 \).
3. Вычисляем каждое слагаемое:
Квадрат первого элемента \( (10b)^2 = 100b^2 \);
Произведение удвоенного первого и второго элементов \( -2 (10b)(3a) = -60ab \);
Квадрат второго элемента \( (3a)^2 = 9a^2 \).
4. Складываем все слагаемые:
\( 100b^2 — 60ab + 9a^2 \).

б) Выражение \( (-6m — n)^2 \):
Это квадрат суммы, для которого используется формула:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

1. Перепишем выражение \( (-6m — n)^2 \) в виде \( (6m + n)^2 \), так как вынесение минуса за скобки не меняет результата квадрата.
2. Применяем формулу квадрата суммы, где \( a = 6m \), \( b = n \):
\( (6m + n)^2 = (6m)^2 + 2 (6m)(n) + n^2 \).
3. Вычисляем каждое слагаемое:
Квадрат первого элемента \( (6m)^2 = 36m^2 \);
Произведение удвоенного первого и второго элементов \( 2 (6m)(n) = 12mn \);
Квадрат второго элемента \( n^2 = n^2 \).
4. Складываем все слагаемые:
\( 36m^2 + 12mn + n^2 \).

в) Выражение \( (8x — 0,3y)^2 \):
Это квадрат разности, для которого используется формула:
\( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \).

1. Применяем формулу квадрата разности, где \( a = 8x \), \( b = 0,3y \):
\( (8x — 0,3y)^2 = (8x)^2 — 2 (8x)(0,3y) + (0,3y)^2 \).
2. Вычисляем каждое слагаемое:
Квадрат первого элемента \( (8x)^2 = 64x^2 \);
Произведение удвоенного первого и второго элементов \( -2 (8x)(0,3y) = -4,8xy \);
Квадрат второго элемента \( (0,3y)^2 = 0,09y^2 \).
3. Складываем все слагаемые:
\( 64x^2 — 4,8xy + 0,09y^2 \).

г) Выражение \( (5a + \frac{1}{15}b)^2 \):

1. Первое выражение \( a = 5a \), а второе выражение \( b = \frac{1}{15}b \).
Подставляем эти значения в формулу квадрата суммы:
\( (5a + \frac{1}{15}b)^2 = (5a)^2 + 2(5a)(\frac{1}{15}b) + (\frac{1}{15}b)^2 \).

2. Найдем каждое слагаемое отдельно:

— Первое слагаемое — это квадрат первого выражения \( (5a)^2 \):
\( (5a)^2 = 5a \cdot 5a = 25a^2 \).

— Второе слагаемое — это удвоенное произведение первого и второго выражений \( 2(5a)(\frac{1}{15}b) \):
Сначала умножим \( 5a \) на \( \frac{1}{15}b \):
\( 5a \cdot \frac{1}{15}b = \frac{5ab}{15} = \frac{ab}{3} \).
Теперь удваиваем это произведение:
\( 2 \cdot \frac{ab}{3} = \frac{2ab}{3} \).

— Третье слагаемое — это квадрат второго выражения \( (\frac{1}{15}b)^2 \):
Найдем квадрат \( \frac{1}{15}b \):
\( (\frac{1}{15}b)^2 = \frac{1}{15}b \cdot \frac{1}{15}b = \frac{1}{225}b^2 \).

3. Складываем все три слагаемых:
\( 25a^2 + \frac{2ab}{3} + \frac{1}{225}b^2 \).

Окончательный ответ:
\( 25a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{1}{225}b^2 \).

д) Выражение \( (-0,2p — 10q)^2 \):
Это квадрат суммы, для которого используется формула:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

1. Перепишем выражение \( (-0,2p — 10q)^2 \) в виде \( (0,2p + 10q)^2 \), так как вынесение минуса не меняет результата квадрата.
2. Применяем формулу квадрата суммы, где \( a = 0,2p \), \( b = 10q \):
\( (0,2p + 10q)^2 = (0,2p)^2 + 2 (0,2p)(10q) + (10q)^2 \).
3. Вычисляем каждое слагаемое:
Квадрат первого элемента \( (0,2p)^2 = 0,04p^2 \);
Произведение удвоенного первого и второго элементов \( 2 (0,2p)(10q) = 4pq \);
Квадрат второго элемента \( (10q)^2 = 100q^2 \).
4. Складываем все слагаемые:
\( 0,04p^2 + 4pq + 100q^2 \).

е) Выражение \( (0,8x — 0,1y)^2 \):
Это квадрат разности, для которого используется формула:
\( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \).

1. Применяем формулу, где \( a = 0,8x \) и \( b = 0,1y \):
\( (0,8x — 0,1y)^2 = (0,8x)^2 — 2 \cdot (0,8x) \cdot (0,1y) + (0,1y)^2 \).
2. Вычисляем каждое слагаемое:
Квадрат первого элемента \( (0,8x)^2 = 0,64x^2 \);
Произведение удвоенного первого и второго элементов \( -2 \cdot (0,8x) \cdot (0,1y) = -0,16xy \);
Квадрат второго элемента \( (0,1y)^2 = 0,01y^2 \).
3. Складываем все слагаемые:
\( 0,64x^2 — 0,16xy + 0,01y^2 \).