ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 841 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите тождество Диофанта (III в.):
\((a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2\).

\((a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2\) — доказать
\((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2\)
\((ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 + a^2d^2 — 2adbc + b^2c^2 =\)
\(= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2\) — доказано

Левая часть выражения

1. Начнем с раскрытия произведения \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\).
По распределительному закону это равно:
\(a^2 \cdot c^2 + a^2 \cdot d^2 + b^2 \cdot c^2 + b^2 \cdot d^2\).

2. Упрощаем выражение, чтобы получить:
\(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2\).

Правая часть выражения

1. Теперь раскроем квадрат суммы \((ac + bd)^2\).
По формуле квадрата суммы \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\), это равно:
\((ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2\).
Упрощаем каждое слагаемое:
\((ac)^2 = a^2c^2\),
\(2(ac)(bd) = 2acbd\),
\((bd)^2 = b^2d^2\).
Таким образом, \((ac + bd)^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2\).

2. Затем раскроем квадрат разности \((ad — bc)^2\).
По формуле квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), это равно:
\((ad)^2 — 2(ad)(bc) + (bc)^2\).
Упрощаем каждое слагаемое:
\((ad)^2 = a^2d^2\),
\(- 2(ad)(bc) = — 2adbc\),
\((bc)^2 = b^2c^2\).
Таким образом, \((ad — bc)^2 = a^2d^2 — 2adbc + b^2c^2\).

3. Складываем полученные выражения для \((ac + bd)^2\) и \((ad — bc)^2\):
\(a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 + a^2d^2 — 2adbc + b^2c^2\).

4. Приводим подобные члены:
\(a^2c^2\) остается без изменений,
\(b^2d^2\) остается без изменений,
\(a^2d^2\) остается без изменений,
\(b^2c^2\) остается без изменений,
\(+ 2acbd — 2adbc = 0\).

5. В результате правая часть равна:
\(a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2\).

Сравнение левой и правой частей

Левая часть равна:
\(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2\).

Правая часть равна:
\(a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2\).

Левая и правая части совпадают. Тождество доказано.