ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 850 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте трёхчлен в виде произведения двух одинаковых множителей:
а) \(4x^2 + 12x + 9\);
г) \(\frac{1}{4}m^2 + 4n^2 — 2mn\);
б) \(25b^2 + 10b + 1\);
д) \(10xy + 0,25x^2 + 100y^2\);
в) \(9x^2 — 24xy + 16y^2\);
е) \(9a^2 — ab + \frac{1}{36}b^2\).

а) \(4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 * 2x * 3 + 3^2 = (2x + 3)^2 =\)
\(= (2x + 3)(2x + 3)\)

б) \(25b^2 + 10b + 1 = (5b)^2 + 2 * 5b * 1 + 1^2 = (5b + 1)^2 =\)
\(= (5b + 1)(5b + 1)\)

в) \(9x^2 — 24xy + 16y^2 = (3x)^2 — 2 * 3x * 4y + (4y)^2 = (3x — 4y)^2 =\)
\(= (3x — 4y)(3x — 4y)\)

г) \(\frac{1}{4}m^2 + 4n^2 — 2mn = (\frac{1}{2}m)^2 — 2 * \frac{1}{2}m * 2n + (2n)^2 = (\frac{1}{2}m -\)
\(- 2n)^2 = (\frac{1}{2}m — 2n)(\frac{1}{2}m — 2n)\)

д) \(10xy + 0,25x^2 + 100y^2 = (0,5x)^2 + 2 * 0,5x * 10y + (10y)^2 =\)
\(= (0,5x + 10y)^2 = (0,5x + 10y)(0,5x + 10y)\)

е) \(9a^2 — ab + \frac{1}{36}b^2 = (3a)^2 — 2 * 3a * \frac{1}{6}b + (\frac{1}{6}b)^2 = (3a — \frac{1}{6}b)^2 =\)
\(= (3a — \frac{1}{6}b)(3a — \frac{1}{6}b)\)

Для представления трёхчлена в виде произведения двух одинаковых множителей необходимо использовать формулу полного квадрата:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),
или
\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\).

Рассмотрим каждый пункт подробно.

а) \(4x^2 + 12x + 9\)

1. В данном трёхчлене \(4x^2\) — это квадрат первого члена, \(9\) — квадрат второго члена, а \(12x\) — это удвоенное произведение первого и второго членов.
\(4x^2 = (2x)^2\), \(9 = 3^2\), а \(12x = 2 * 2x * 3\).
2. Следовательно, трёхчлен можно записать как полный квадрат:
\((2x + 3)^2 = (2x + 3)(2x + 3)\).

Ответ: \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 = (2x + 3)(2x + 3)\).

б) \(25b^2 + 10b + 1\)

1. Здесь \(25b^2\) — это квадрат первого члена, \(1\) — квадрат второго члена, а \(10b\) — удвоенное произведение первого и второго членов.
\(25b^2 = (5b)^2\), \(1 = 1^2\), а \(10b = 2 * 5b * 1\).
2. Следовательно, трёхчлен можно представить в виде полного квадрата:
\((5b + 1)^2 = (5b + 1)(5b + 1)\).

Ответ: \(25b^2 + 10b + 1 = (5b + 1)^2 = (5b + 1)(5b + 1)\).

в) \(9x^2 — 24xy + 16y^2\)

1. В данном трёхчлене \(9x^2\) — это квадрат первого члена, \(16y^2\) — квадрат второго члена, а \(-24xy\) — удвоенное произведение первого и второго членов с отрицательным знаком.
\(9x^2 = (3x)^2\), \(16y^2 = (4y)^2\), а \(-24xy = -2 * 3x * 4y\).
2. Следовательно, трёхчлен можно записать как полный квадрат разности:
\((3x — 4y)^2 = (3x — 4y)(3x — 4y)\).

Ответ: \(9x^2 — 24xy + 16y^2 = (3x — 4y)^2 = (3x — 4y)(3x — 4y)\).

г) \(\frac{1}{4}m^2 + 4n^2 — 2mn\)

1. Здесь \(\frac{1}{4}m^2\) — это квадрат первого члена, \(4n^2\) — квадрат второго члена, а \(-2mn\) — удвоенное произведение первого и второго членов с отрицательным знаком.
\(\frac{1}{4}m^2 = (\frac{1}{2}m)^2\), \(4n^2 = (2n)^2\), а \(-2mn = -2 * \frac{1}{2}m * 2n\).
2. Следовательно, трёхчлен можно представить как полный квадрат разности:
\((\frac{1}{2}m — 2n)^2 = (\frac{1}{2}m — 2n)(\frac{1}{2}m — 2n)\).

Ответ: \(\frac{1}{4}m^2 + 4n^2 — 2mn = (\frac{1}{2}m — 2n)^2 = (\frac{1}{2}m — 2n)(\frac{1}{2}m — 2n)\).

д) \(10xy + 0,25x^2 + 100y^2\)

1. В данном трёхчлене \(0,25x^2\) — это квадрат первого члена, \(100y^2\) — квадрат второго члена, а \(10xy\) — удвоенное произведение первого и второго членов.
\(0,25x^2 = (0,5x)^2\), \(100y^2 = (10y)^2\), а \(10xy = 2 * 0,5x * 10y\).
2. Следовательно, трёхчлен можно записать как полный квадрат суммы:
\((0,5x + 10y)^2 = (0,5x + 10y)(0,5x + 10y)\).

Ответ: \(10xy + 0,25x^2 + 100y^2 = (0,5x + 10y)^2 = (0,5x + 10y)(0,5x + 10y)\).

е) \(9a^2 — ab + \frac{1}{36}b^2\)

1. В данном трёхчлене \(9a^2\) — это квадрат первого члена, \(\frac{1}{36}b^2\) — квадрат второго члена, а \(-ab\) — удвоенное произведение первого и второго членов с отрицательным знаком.
\(9a^2 = (3a)^2\), \(\frac{1}{36}b^2 = (\frac{1}{6}b)^2\), а \(-ab = -2 * 3a * \frac{1}{6}b\).
2. Следовательно, трёхчлен можно записать как полный квадрат разности:
\((3a — \frac{1}{6}b)^2 = (3a — \frac{1}{6}b)(3a — \frac{1}{6}b)\).

Ответ: \(9a^2 — ab + \frac{1}{36}b^2 = (3a — \frac{1}{6}b)^2 = (3a — \frac{1}{6}b)(3a — \frac{1}{6}b)\).