ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 861 Макарычев — Подробные Ответы

Преобразуйте выражение в квадрат двучлена:
а) \(x^4 — 8x^2y^2 + 16y^4\);
б) \(16x^4 + 2x^2a + 16a^2\);
в) \(-a^2 + 2ab^2 + 4b^4\);
г) \(a^2x^2 — 2abx + b^2\).

a) \(x^4 — 8x^2y^2 + 16y^4 = (x^2 — 4y^2)^2\)
Это квадрат разности, где \(a = x^2\), \(b = 4y^2\).

б) \(\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2 = \left(\frac{1}{4}x^2 + 4a\right)^2\)
Здесь \(a = \frac{1}{4}x^2\), \(b = 4a\).

в) \(\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4 = \left(\frac{1}{2}a + 2b^2\right)^2\)
Квадрат суммы с \(a = \frac{1}{2}a\), \(b = 2b^2\).

г) \(a^2x^2 — 2abx + b^2 = (ax — b)^2\)
Квадрат разности с \(a = ax\), \(b = b\).

а) Выражение \(x^4 — 8x^2y^2 + 16y^4\) представляет собой многочлен четвертой степени. Чтобы преобразовать его в квадрат двучлена, нужно заметить, что это разложение по формуле квадрата разности. Первая и последняя части выражения — это квадраты \(x^2\) и \(4y^2\) соответственно, так как \(x^4 = (x^2)^2\) и \(16y^4 = (4y^2)^2\). Средний член \(-8x^2y^2\) равен удвоенному произведению \(x^2\) и \(4y^2\) с минусом: \(-2 \cdot x^2 \cdot 4y^2 = -8x^2y^2\).

Таким образом, выражение можно записать как квадрат разности двух членов: \((x^2 — 4y^2)^2\). Это соответствует формуле \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), где \(a = x^2\), \(b = 4y^2\). Такой подход позволяет упростить исходное выражение и представить его в виде квадрата двучлена, что удобно для дальнейших преобразований и вычислений.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2\). Здесь также нужно выявить структуру квадрата двучлена. Первый и последний члены выражения — это квадраты: \(\frac{1}{16}x^4 = \left(\frac{1}{4}x^2\right)^2\) и \(16a^2 = (4a)^2\). Средний член \(2x^2a\) должен быть равен удвоенному произведению первого и второго членов двучлена, то есть \(2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4a = 2x^2a\), что совпадает с данным выражением.

Следовательно, исходное выражение можно записать в виде квадрата суммы: \(\left(\frac{1}{4}x^2 + 4a\right)^2\). Это соответствует формуле \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a = \frac{1}{4}x^2\), \(b = 4a\). Такой способ раскрытия квадрата позволяет легко работать с выражением и использовать его в решении задач.

в) В выражении \(\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4\) необходимо определить, является ли оно квадратом двучлена. Первый член \(\frac{1}{4}a^2\) равен квадрату \(\frac{1}{2}a\), так как \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2 = \frac{1}{4}a^2\). Последний член \(4b^4\) равен квадрату \(2b^2\), так как \((2b^2)^2 = 4b^4\). Средний член \(2ab^2\) должен равняться удвоенному произведению \(\frac{1}{2}a\) и \(2b^2\), то есть \(2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 2b^2 = 2ab^2\), что совпадает с данным выражением.

Таким образом, выражение можно представить как квадрат суммы: \(\left(\frac{1}{2}a + 2b^2\right)^2\). Это соответствует формуле \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a = \frac{1}{2}a\), \(b = 2b^2\). Такое разложение упрощает работу с выражением и помогает быстро находить его корни или преобразовывать для дальнейших вычислений.

г) Выражение \(a^2x^2 — 2abx + b^2\) также можно преобразовать в квадрат двучлена. Первый член \(a^2x^2\) равен квадрату \(ax\), так как \((ax)^2 = a^2x^2\). Последний член \(b^2\) — это квадрат \(b\). Средний член \(-2abx\) равен удвоенному произведению \(ax\) и \(b\) с минусом: \(-2 \cdot ax \cdot b = -2abx\).

Это позволяет записать исходное выражение как квадрат разности: \((ax — b)^2\). Формула \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\) полностью совпадает с данным выражением, где \(a = ax\), \(b = b\). Такое представление упрощает анализ выражения и делает возможным применение различных алгебраических методов для решения уравнений и упрощения выражений.