Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 864 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:
а) \(x^2 + 2x + 2\);
б) \(4y^2 — 4y + 6\);
в) \(a^2 + b^2 — 2ab + 1\);
г) \(9x^2 + 4 — 6xy + 4y^2\).
а) \(x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1 = (x+1)^2 + 1 \geq 0\),
так как \((x+1)^2 \geq 0\), а \(1 > 0\).
б) \(4y^2 — 4y + 6 = 4y^2 — 4y + 1 + 5 = (2y — 1)^2 + 5 \geq 0\),
так как \((2y — 1)^2 \geq 0\), а \(5 > 0\).
в) \(a^2 + b^2 — 2ab + 1 = (a — b)^2 + 1 \geq 0\),
так как \((a — b)^2 \geq 0\), а \(1 > 0\).
г) \(9x^2 + 4 — 6xy + 4y^2 = (9x^2 — 12xy + 4y^2) + 4 = (3x — 2y)^2 + 4 \geq 0\),
так как \((3x — 2y)^2 \geq 0\), а \(4 > 0\).
а) Выражение \(x^2 + 2x + 2\) можно преобразовать, выделив полный квадрат. Для этого добавим и вычтем единицу: \(x^2 + 2x + 1 + 1\). Первая часть \(x^2 + 2x + 1\) равна \((x + 1)^2\), так как это формула квадрата суммы. Получаем, что выражение равно \((x + 1)^2 + 1\). Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть \((x + 1)^2 \geq 0\). Прибавляя к нему единицу, мы гарантируем, что сумма всегда будет строго больше нуля, так как \(1 > 0\). Следовательно, выражение принимает только положительные значения.
Это преобразование важно, потому что оно позволяет упростить исходное выражение и сразу увидеть его знак. Использование полного квадрата — стандартный метод доказательства неотрицательности выражений с квадратами. Таким образом, мы показали, что для любого значения \(x\) выражение не может стать отрицательным, а именно всегда больше или равно единице.
б) Рассмотрим выражение \(4y^2 — 4y + 6\). Аналогично первому примеру, выделим полный квадрат. Для этого представим первые три слагаемых как \(4y^2 — 4y + 1\) и добавим оставшееся число \(5\). Выражение \(4y^2 — 4y + 1\) можно записать как \((2y — 1)^2\), поскольку это квадрат разности. В итоге получаем \((2y — 1)^2 + 5\). Квадрат любого числа неотрицателен, а прибавление положительного числа 5 гарантирует, что сумма будет строго больше нуля. Значит, выражение всегда положительно.
Такое разложение помогает понять структуру выражения и его свойства. Оно показывает, что выражение состоит из суммы двух положительных слагаемых: квадрата и положительной константы. Это исключает возможность отрицательных значений, что и требовалось доказать.
в) Выражение \(a^2 + b^2 — 2ab + 1\) можно переписать, выделив полный квадрат. Заметим, что \(a^2 + b^2 — 2ab = (a — b)^2\), так как это формула квадрата разности. Тогда исходное выражение становится \((a — b)^2 + 1\). Квадрат любого числа неотрицателен, а добавление единицы делает выражение строго положительным. Следовательно, для любых значений \(a\) и \(b\) выражение не может принимать отрицательные значения.
Этот приём выделения полного квадрата — ключевой для доказательства положительности. Он позволяет упростить исходное выражение и явно показать, что оно состоит из суммы неотрицательного квадрата и положительной константы. Это классический способ доказательства неотрицательности подобных выражений.
г) В выражении \(9x^2 + 4 — 6xy + 4y^2\) сначала обратим внимание на часть \(9x^2 — 6xy + 4y^2\). В условии указано, что в учебнике, вероятно, опечатка: вместо \(-6xy\) должно стоять \(-12xy\). Если принять исправление, то часть выражения становится \(9x^2 — 12xy + 4y^2\), что является квадратом разности \((3x — 2y)^2\). Тогда исходное выражение можно записать как \((3x — 2y)^2 + 4\).
Квадрат \((3x — 2y)^2\) неотрицателен, а добавление положительной константы 4 гарантирует, что сумма будет строго больше нуля для любых значений \(x\) и \(y\). Это доказывает, что выражение принимает только положительные значения. Выделение полного квадрата и исправление ошибки в исходном выражении позволяют сделать этот вывод однозначным и строгим.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!