ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 870 Макарычев — Подробные Ответы

Выполните умножение многочленов:
а) \((x — y)(x + y)\);
б) \((p + q)(p — q)\);
в) \((p — 5)(p + 5)\);
г) \((x + 3)(x — 3)\);
д) \((2x — 1)(2x + 1)\);
е) \((7 + 3y)(3y — 7)\);
ж) \((n — 3m)(3m + n)\);
з) \((2a — 3b)(3b + 2a)\);
и) \((8c + 9d)(9d — 8c)\).

а) \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\)
б) \((p + q)(p — q) = p^2 — q^2\)
в) \((p — 5)(p + 5) = p^2 — 25\)
г) \((x + 3)(x — 3) = x^2 — 9\)
д) \((2x — 1)(2x + 1) = 4x^2 — 1\)
е) \((7 + 3y)(3y — 7) = -(7 + 3y)(7 — 3y) = -(49 — 9y^2) = 9y^2 — 49\)
ж) \((n — 3m)(3m + n) = -(3m — n)(3m + n) = -(9m^2 — n^2) = n^2 — 9m^2\)
з) \((2a — 3b)(3b + 2a) = -(3b — 2a)(3b + 2a) = -(9b^2 — 4a^2) = 4a^2 — 9b^2\)
и) \((8c + 9d)(9d — 8c) = -(8c + 9d)(8c — 9d) = -(64c^2 — 81d^2) = 81d^2 — 64c^2\)

а) Выражение представляет собой произведение разности и суммы двух переменных \(x\) и \(y\). По формуле разности квадратов, произведение \((x — y)(x + y)\) равно разности квадратов этих переменных, то есть \(x^2 — y^2\). Это происходит потому, что при раскрытии скобок внутренние члены взаимно уничтожаются: \(x \cdot x = x^2\), \(x \cdot y\) и \(-y \cdot x\) компенсируют друг друга, а \(-y \cdot y = -y^2\).

Таким образом, итоговое выражение упрощается до \(x^2 — y^2\), что является классическим примером применения формулы разности квадратов для упрощения произведения двух биномиальных выражений.

б) Аналогично первому случаю, здесь мы имеем произведение суммы и разности двух переменных \(p\) и \(q\). Формула разности квадратов гласит, что \((p + q)(p — q) = p^2 — q^2\). При раскрытии скобок внутренние слагаемые \(p \cdot (-q)\) и \(q \cdot p\) взаимно уничтожаются, остаются только квадраты переменных с разным знаком.

Это позволяет легко преобразовать произведение в разность квадратов, что упрощает вычисления и последующие преобразования данного выражения.

в) Здесь переменная \(p\) умножается в двух выражениях, отличающихся знаком числа 5. По формуле разности квадратов \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\), подставляя \(a = p\), \(b = 5\), получаем \(p^2 — 5^2 = p^2 — 25\). При раскрытии скобок средние члены взаимно уничтожаются.

Такое упрощение позволяет быстро получить результат без необходимости полного раскрытия произведения, что особенно удобно при работе с алгебраическими выражениями.

г) В данном случае переменная \(x\) умножается в двух выражениях, отличающихся знаком числа 3. По формуле разности квадратов \((x + 3)(x — 3) = x^2 — 3^2 = x^2 — 9\). При раскрытии скобок внутренние члены \(x \cdot (-3)\) и \(3 \cdot x\) взаимно уничтожаются, остаются только квадраты с разными знаками.

Это классический пример использования формулы разности квадратов для упрощения произведения, что позволяет быстро и без ошибок получить итоговое выражение.

д) Здесь произведение двух биномиальных выражений с переменной \(x\) и коэффициентом 2. По формуле разности квадратов \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\), подставляя \(a = 2x\), \(b = 1\), получаем \( (2x)^2 — 1^2 = 4x^2 — 1\). При раскрытии скобок внутренние слагаемые взаимно уничтожаются.

Таким образом, исходное произведение упрощается до разности квадратов, что облегчает дальнейшие вычисления и анализ.

е) Здесь произведение выражений с переменной \(y\) и числами 7 и 3. Обратите внимание, что произведение задано как \((7 + 3y)(3y — 7)\), которое можно переписать как \(-(7 + 3y)(7 — 3y)\), используя отрицательный знак и перестановку слагаемых. По формуле разности квадратов \((a + b)(a — b) = a^2 — b^2\), подставляя \(a = 7\), \(b = 3y\), получаем \(7^2 — (3y)^2 = 49 — 9y^2\).

С учетом минуса перед скобками результат равен \(-(49 — 9y^2) = 9y^2 — 49\). Таким образом, произведение выражений упрощается до разности квадратов с изменением знака.

ж) В этом примере произведение выражений с переменными \(n\) и \(m\), где порядок слагаемых и знаки важны. Произведение \((n — 3m)(3m + n)\) можно переписать как \(-(3m — n)(3m + n)\), что соответствует формуле разности квадратов с отрицательным знаком.

Подставляя \(a = 3m\), \(b = n\), получаем \( -(a^2 — b^2) = -(9m^2 — n^2) = n^2 — 9m^2\). Это показывает, что произведение можно свести к разности квадратов с учетом знака, что упрощает вычисления.

з) Здесь произведение выражений с переменными \(a\) и \(b\), где слагаемые переставлены и имеют разные знаки. Выражение \((2a — 3b)(3b + 2a)\) переписывается как \(-(3b — 2a)(3b + 2a)\), что соответствует формуле разности квадратов с отрицательным знаком.

Подставляя \(a = 3b\), \(b = 2a\), получаем \( -(9b^2 — 4a^2) = 4a^2 — 9b^2\). Это упрощение помогает быстро получить результат без полного раскрытия скобок.

и) В последнем примере произведение выражений с переменными \(c\) и \(d\) и коэффициентами 8 и 9. Выражение \((8c + 9d)(9d — 8c)\) переписывается как \(-(8c + 9d)(8c — 9d)\), что соответствует формуле разности квадратов с отрицательным знаком.

Подставляя \(a = 8c\), \(b = 9d\), получаем \( -(64c^2 — 81d^2) = 81d^2 — 64c^2\). Таким образом, произведение сводится к разности квадратов с изменением знака, что упрощает дальнейшие действия с выражением.