ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 873 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена произведение:
а) \((x^2 — 5)(x^2 + 5)\);
б) \((4 + y^2)(y^2 — 4)\);
в) \((9a — b^2)(b^2 + 9a)\);
г) \((0,7x + y^2)(0,7x — y^2)\);
д) \((10p^2 — 0,3q^2)(10p^2 + 0,3q^2)\);
е) \((a^3 — b^2)(a^3 + b^2)\);
ж) \((c^4 + d^2)(d^2 — c^4)\);
з) \((5x^2 + 2y^3)(5x^2 — 2y^3)\);
и) \((1,4c — 0,7y^3)(0,7y^2 + 1,4c)\);
к) \((1,3a^5 — 0,1b^4)(1,3a^5 + 0,1b^4)\).

а) \((x^2 — 5)(x^2 + 5) = x^4 — 25\)
Используем формулу разности квадратов: \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\).

б) \((4 + y^2)(y^2 — 4) = -(4 + y^2)(4 — y^2) = -(16 — y^4) = y^4 — 16\)
Переставляем множители и применяем формулу разности квадратов.

в) \((9a — b^2)(b^2 + 9a) = -(b^2 — 9a)(b^2 + 9a) = 81a^2 — b^4\)
Опять формула разности квадратов с минусом.

г) \((0,7x + y^2)(0,7x — y^2) = 0,49x^2 — y^4\)
Формула разности квадратов.

д) \((10p^2 — 0,3q^2)(10p^2 + 0,3q^2) = 100p^4 — 0,09q^4\)
Формула разности квадратов.

е) \((a^3 — b^2)(a^3 + b^2) = a^6 — b^4\)
Формула разности квадратов.

ж) \((c^4 + d^2)(d^2 — c^4) = -(c^4 + d^2)(c^4 — d^2) = d^4 — c^8\)
Перестановка с формулой разности квадратов и минусом.

з) \((5x^2 + 2y^3)(5x^2 — 2y^3) = 25x^4 — 4y^6\)
Формула разности квадратов.

и) \((1,4c — 0,7y^3)(0,7y^3 + 1,4c) = -(0,7y^3 — 1,4c)(0,7y^3 + 1,4c) =\)
\(= 1,96c^2 — 0,49y^6\)
Перестановка с формулой разности квадратов и минусом.

к) \((1,3a^5 — 0,1b^4)(1,3a^5 + 0,1b^4) = 1,69a^{10} — 0,01b^8\)
Формула разности квадратов.

а) Рассмотрим выражение \((x^2 — 5)(x^2 + 5)\). Здесь мы видим произведение двух двучленов, которые отличаются знаком между слагаемыми, то есть имеют вид \(a — b\) и \(a + b\), где \(a = x^2\), а \(b = 5\). По формуле разности квадратов произведение таких выражений равно разности квадратов: \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\). В нашем случае это будет \( (x^2)^2 — 5^2 = x^4 — 25\).

Таким образом, раскрывая скобки по формуле, мы сокращаем выражение до более простой формы. Это очень удобный прием, который позволяет быстро преобразовывать произведения разности и суммы одинаковых величин в разность их квадратов, что значительно упрощает дальнейшие вычисления и анализ.

б) В выражении \((4 + y^2)(y^2 — 4)\) сначала обратим внимание, что множители не совсем подходят под стандартную формулу разности квадратов, так как один из них записан в виде \(4 + y^2\), а другой — \(y^2 — 4\). Чтобы применить формулу, нужно привести выражение к виду \((a — b)(a + b)\). Для этого заметим, что \(y^2 — 4 = -(4 — y^2)\). Подставляя это, получаем \((4 + y^2)(y^2 — 4) = -(4 + y^2)(4 — y^2)\).

Теперь множители имеют вид \((a + b)(a — b)\), где \(a = 4\), \(b = y^2\). По формуле разности квадратов это равно \(a^2 — b^2 = 4^2 — (y^2)^2 = 16 — y^4\). Учитывая знак минус, получаем итог: \(y^4 — 16\).

в) В выражении \((9a — b^2)(b^2 + 9a)\) также можно применить формулу разности квадратов, но для этого нужно переставить множители и учесть знак минуса. Заметим, что \(9a — b^2 = -(b^2 — 9a)\), тогда произведение можно переписать как \(-(b^2 — 9a)(b^2 + 9a)\).

Теперь множители имеют вид \((a — b)(a + b)\), где \(a = b^2\), \(b = 9a\). Применяем формулу: \(a^2 — b^2 = (b^2)^2 — (9a)^2 = b^4 — 81a^2\). Учитывая знак минуса перед скобками, итог будет \(81a^2 — b^4\).

г) Рассмотрим \((0,7x + y^2)(0,7x — y^2)\). Здесь множители имеют вид \(a + b\) и \(a — b\), где \(a = 0,7x\), \(b = y^2\). По формуле разности квадратов получаем \(a^2 — b^2 = (0,7x)^2 — (y^2)^2 = 0,49x^2 — y^4\).

Это классический пример применения формулы разности квадратов без дополнительных преобразований, поскольку множители уже записаны в удобном виде.

д) В выражении \((10p^2 — 0,3q^2)(10p^2 + 0,3q^2)\) множители имеют вид \(a — b\) и \(a + b\), где \(a = 10p^2\), \(b = 0,3q^2\). Применяем формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (10p^2)^2 — (0,3q^2)^2 = 100p^4 — 0,09q^4\).

Такое преобразование упрощает исходное выражение, позволяя заменить произведение на разность квадратов, что часто удобнее для дальнейших вычислений.

е) В выражении \((a^3 — b^2)(a^3 + b^2)\) множители имеют вид \(a — b\) и \(a + b\), где \(a = a^3\), \(b = b^2\). По формуле разности квадратов получаем \(a^2 — b^2 = (a^3)^2 — (b^2)^2 = a^6 — b^4\).

Это пример, когда степени переменных увеличиваются при возведении в квадрат, что важно учитывать при работе с такими выражениями.

ж) Рассмотрим \((c^4 + d^2)(d^2 — c^4)\). Чтобы применить формулу разности квадратов, нужно привести множители к виду \((a — b)(a + b)\). Заметим, что \(d^2 — c^4 = -(c^4 — d^2)\), тогда произведение можно записать как \(-(c^4 + d^2)(c^4 — d^2)\).

Теперь применяем формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (c^4)^2 — (d^2)^2 = c^8 — d^4\). Учитывая минус, итог будет \(d^4 — c^8\).

з) В выражении \((5x^2 + 2y^3)(5x^2 — 2y^3)\) множители имеют вид \(a + b\) и \(a — b\), где \(a = 5x^2\), \(b = 2y^3\). Применяем формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (5x^2)^2 — (2y^3)^2 = 25x^4 — 4y^6\).

Это прямое применение формулы без дополнительных преобразований, что облегчает вычисления.

и) Рассмотрим \((1,4c — 0,7y^3)(0,7y^3 + 1,4c)\). Чтобы применить формулу разности квадратов, нужно привести множители к виду \((a — b)(a + b)\). Заметим, что \(0,7y^3 + 1,4c = 1,4c + 0,7y^3\), а \(1,4c — 0,7y^3 = -(0,7y^3 — 1,4c)\). Тогда произведение можно записать как \(-(0,7y^3 — 1,4c)(0,7y^3 + 1,4c)\).

Теперь применяем формулу: \(a^2 — b^2 = (0,7y^3)^2 — (1,4c)^2 = 0,49y^6 — 1,96c^2\). Учитывая минус, итог: \(1,96c^2 — 0,49y^6\).

к) В выражении \((1,3a^5 — 0,1b^4)(1,3a^5 + 0,1b^4)\) множители имеют вид \(a — b\) и \(a + b\), где \(a = 1,3a^5\), \(b = 0,1b^4\). Применяем формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (1,3a^5)^2 — (0,1b^4)^2 = 1,69a^{10} — 0,01b^8\).

Это классический случай, когда произведение двух выражений превращается в разность квадратов, что значительно упрощает исходное выражение.