ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 875 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена:
а) \((3x^2 — 1)(3x^2 + 1)\);
б) \((5a — b^3)(b^3 + 5a)\);
в) \(\left(\frac{3}{7}m^3 + \frac{1}{4}n^3\right)\left(\frac{3}{7}m^3 — \frac{1}{4}n^3\right)\);
г) \(\left(\frac{1}{15} — \frac{1}{8}p^6\right)\left(\frac{1}{8}p^6 + \frac{1}{15}\right)\);
д) \((0,4y^3 + 5a^2)(5a^2 — 0,4y^3)\);
е) \((1,2c^2 — 7a^2)(1,2c^2 + 7a^2)\);
ж) \(\left(5 \over 8 x + y^5\right)\left(y^5 — 5 \over 8 x\right)\);
з) \(\left(\frac{1}{7}p^5 — 0,01\right)\left(0,01 + \frac{1}{7}p^5\right)\).

a) \((3x^2 — 1)(3x^2 + 1) = 9x^4 — 1\)

б) \((5a — b^3)(b^3 + 5a) = -(b^3 — 5a)(b^3 + 5a) = 25a^2 — b^6\)

в) \(\left(\frac{3}{7}m^3 + \frac{1}{4}n^3\right)\left(\frac{3}{7}m^3 — \frac{1}{4}n^3\right) = \frac{9}{49}m^6 — \frac{1}{16}n^6\)

г) \(\left(\frac{1}{15} — \frac{1}{8}p^6\right)\left(\frac{1}{8}p^6 + \frac{1}{15}\right) = -\left(\frac{1}{8}p^6 — \frac{1}{15}\right)\left(\frac{1}{8}p^6 + \frac{1}{15}\right) = \frac{1}{225} — \frac{1}{64}p^{12}\)

д) \((0,4y^3 + 5a^2)(5a^2 — 0,4y^3) = -(0,4y^3 + 5a^2)(0,4y^3 — 5a^2)=\)
\( = 25a^4 — 0,16y^6\)

е) \((1,2c^2 — 7a^2)(1,2c^2 + 7a^2) = 1,44c^4 — 49a^4\)

ж) \(\left(\frac{5}{8}x + y^5\right)\left(y^5 — \frac{5}{8}x\right) = -\left(\frac{5}{8}x + y^5\right)\left(\frac{5}{8}x — y^5\right) = y^{10} — \frac{25}{64}x^2\)

з) \(\left(\frac{1}{7}p^5 — 0,01\right)\left(0,01 + \frac{1}{7}p^5\right) = -\left(0,01 — \frac{1}{7}p^5\right)\left(0,01 + \frac{1}{7}p^5\right)=\)
\( = \frac{1}{49}p^{10} — 0,0001\)

а) В выражении \((3x^2 — 1)(3x^2 + 1)\) мы видим произведение разности и суммы одинаковых выражений. Это классический пример формулы разности квадратов, которая гласит, что \((A — B)(A + B) = A^2 — B^2\). Здесь \(A = 3x^2\), а \(B = 1\). Возводим каждую часть в квадрат: \(A^2 = (3x^2)^2 = 9x^4\), \(B^2 = 1^2 = 1\). Подставляя обратно, получаем результат \(9x^4 — 1\).

Данный способ сокращает вычисления, так как не нужно раскрывать скобки полностью. Это часто используется для упрощения выражений и решения уравнений, где нужно быстро получить разность квадратов. Такой приём позволяет избежать множества одночленов и сокращений.

б) В выражении \((5a — b^3)(b^3 + 5a)\) сначала обратим внимание, что порядок множителей отличается, и можно переписать выражение как \(-(b^3 — 5a)(b^3 + 5a)\). Здесь опять применима формула разности квадратов, где \(A = b^3\), \(B = 5a\). Тогда результат будет \(A^2 — B^2 = (b^3)^2 — (5a)^2 = b^6 — 25a^2\). Из-за минуса перед скобками меняем знаки, и итог получается \(25a^2 — b^6\).

Такое преобразование важно для правильного упрощения выражения, так как порядок и знак множителей влияют на результат. Применение формулы разности квадратов ускоряет вычисления и уменьшает вероятность ошибки.

в) Рассмотрим произведение \(\left(\frac{3}{7}m^3 + \frac{1}{4}n^3\right)\left(\frac{3}{7}m^3 — \frac{1}{4}n^3\right)\). Здесь снова видим разность квадратов, где \(A = \frac{3}{7}m^3\), \(B = \frac{1}{4}n^3\). Применяем формулу: \(A^2 — B^2\).

Возводим в квадрат: \(A^2 = \left(\frac{3}{7}\right)^2 m^{6} = \frac{9}{49} m^{6}\), \(B^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 n^{6} = \frac{1}{16} n^{6}\). Итог: \(\frac{9}{49} m^{6} — \frac{1}{16} n^{6}\).

Такое использование дробных коэффициентов и степеней требует аккуратности, чтобы не допустить ошибок при возведении в степень и умножении.

г) Выражение \(\left(\frac{1}{15} — \frac{1}{8} p^6\right)\left(\frac{1}{8} p^6 + \frac{1}{15}\right)\) можно переписать как \(-\left(\frac{1}{8} p^6 — \frac{1}{15}\right)\left(\frac{1}{8} p^6 + \frac{1}{15}\right)\). Опять применяем формулу разности квадратов.

Обозначим \(A = \frac{1}{8} p^6\), \(B = \frac{1}{15}\). Тогда произведение равно \(- (A^2 — B^2) = — \left(\frac{1}{64} p^{12} — \frac{1}{225}\right)\). Раскрываем минус: \(\frac{1}{225} — \frac{1}{64} p^{12}\).

Такое преобразование требует внимательности при работе с отрицательными знаками и дробями в коэффициентах.

д) В выражении \((0,4 y^3 + 5 a^2)(5 a^2 — 0,4 y^3)\) заметим, что это произведение суммы и разности, но в другом порядке. Переписываем как \(- (0,4 y^3 + 5 a^2)(0,4 y^3 — 5 a^2)\).

Рассматриваем \(A = 0,4 y^3\), \(B = 5 a^2\). Применяем формулу разности квадратов: \(- (A^2 — B^2) = — (0,16 y^6 — 25 a^4) = 25 a^4 — 0,16 y^6\).

Здесь важно правильно возводить десятичные числа в степень и учитывать порядок слагаемых для корректного результата.

е) В произведении \((1,2 c^2 — 7 a^2)(1,2 c^2 + 7 a^2)\) снова используем формулу разности квадратов с \(A = 1,2 c^2\), \(B = 7 a^2\).

Возводим в квадрат: \(A^2 = 1,44 c^4\), \(B^2 = 49 a^4\). Итог: \(1,44 c^4 — 49 a^4\).

Такое упрощение часто встречается при работе с многочленами и помогает быстро получить ответ без раскрытия скобок.

ж) Рассмотрим \(\left(\frac{5}{8} x + y^5\right)\left(y^5 — \frac{5}{8} x\right)\), которое переписывается как \(-\left(\frac{5}{8} x + y^5\right)\left(\frac{5}{8} x — y^5\right)\).

Обозначим \(A = \frac{5}{8} x\), \(B = y^5\). По формуле разности квадратов: \(- (A^2 — B^2) = -\left(\frac{25}{64} x^2 — y^{10}\right) = y^{10} — \frac{25}{64} x^2\).

Работа с дробными коэффициентами и степенями требует аккуратности, чтобы не допустить ошибок при упрощении.

з) В выражении \(\left(\frac{1}{7} p^5 — 0,01\right)\left(0,01 + \frac{1}{7} p^5\right)\) переписываем как \(-\left(0,01 — \frac{1}{7} p^5\right)\left(0,01 + \frac{1}{7} p^5\right)\).

Обозначим \(A = 0,01\), \(B = \frac{1}{7} p^5\). По формуле разности квадратов: \(- (A^2 — B^2) = — (0,0001 — \frac{1}{49} p^{10}) = \frac{1}{49} p^{10} — 0,0001\).

Важно аккуратно работать с десятичными дробями и степенями, чтобы получить точный результат.