ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 881 Макарычев — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение выражения:
а) \((7 — 6x)(7 + 6x)\);
б) \(\left(\frac{1}{3} — 2y\right)\left(\frac{1}{3} + 2y\right)\);
в) \(\left(4 — \frac{1}{3}b\right)\left(\frac{1}{3}b + 4\right)\);
г) \(\left(4a + \frac{1}{7}\right)\left(\frac{1}{7} — 4a\right)\).

а) Выражение \((7 — 6x)(7 + 6x)\) раскрывается по формуле разности квадратов: \(7^2 — (6x)^2 = 49 — 36x^2\). Максимальное значение достигается при \(x = 0\), тогда \(49 — 36 \cdot 0^2 = 49\).

б) Выражение \(\left(4 — \frac{1}{3}b\right)\left(\frac{1}{3}b + 4\right)\) раскрывается как разность квадратов: \(16 — \frac{1}{9}b^2\). Максимум при \(b = 0\) равен \(16\).

в) Выражение \(\left(\frac{1}{3} — 2y\right)\left(\frac{1}{3} + 2y\right)\) равно \(\frac{1}{9} — 4y^2\). Максимум достигается при \(y = 0\) и равен \(\frac{1}{9}\).

г) Выражение \(\left(4a + \frac{8}{7}\right)\left(\frac{8}{7} — 4a\right)\) раскрывается как разность квадратов: \(\frac{64}{49} — 16a^2\). Максимум при \(a = 0\) равен \(\frac{64}{49}\).

а) Рассмотрим выражение \((7 — 6x)(7 + 6x)\). Это произведение двух скобок, которые представляют собой разность и сумму одинаковых слагаемых. По формуле разности квадратов имеем: \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\). Здесь \(a = 7\), \(b = 6x\), поэтому раскрываем скобки как \(7^2 — (6x)^2\). Получаем \(49 — 36x^2\).

Далее сказано, что наибольшее значение этого выражения равно \(49\) при \(x = 0\). Это логично, так как квадрат любого числа неотрицателен, и при \(x = 0\) второй член равен нулю, тогда выражение максимально и равно \(49\). При увеличении модуля \(x\) значение уменьшается за счёт вычитания положительного числа \(36x^2\).

Таким образом, мы видим, что данное выражение является параболой с вершиной в точке \(x=0\), где достигается максимум \(49\). При любых других значениях \(x\) значение выражения будет меньше.

б) Рассмотрим выражение \(\left(4 — \frac{1}{3}b\right)\left(\frac{1}{3}b + 4\right)\). Раскроем скобки, умножая каждое слагаемое:

\[
\left(4 — \frac{1}{3}b\right)\left(\frac{1}{3}b + 4\right) = 4 \cdot \frac{1}{3}b + 4 \cdot 4 — \frac{1}{3}b \cdot \frac{1}{3}b — \frac{1}{3}b \cdot 4.
\]

Упрощая, получаем:

\[
\frac{4}{3}b + 16 — \frac{1}{9}b^2 — \frac{4}{3}b = 16 — \frac{1}{9}b^2,
\]

так как \(\frac{4}{3}b — \frac{4}{3}b = 0\).

Далее в условии записано, что это равно \(-\left(\frac{1}{3}b — 4\right)\left(\frac{1}{3}b + 4\right)\), что по формуле разности квадратов равно:

\[
— \left(\left(\frac{1}{3}b\right)^2 — 4^2\right) = -\left(\frac{1}{9}b^2 — 16\right) = 16 — \frac{1}{9}b^2.
\]

Максимальное значение выражения равно 16 при \(b = 0\), так как квадрат \(b^2\) всегда неотрицателен, и при \(b=0\) выражение достигает максимума \(16\).

в) Рассмотрим выражение \(\left(\frac{1}{3} — 2y\right)\left(\frac{1}{3} + 2y\right)\). По формуле разности квадратов:

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^2 — (2y)^2 = \frac{1}{9} — 4y^2.
\]

Это квадратичная функция, которая достигает максимума при \(y = 0\), поскольку при увеличении \(|y|\) второй член растёт, уменьшая значение выражения. Максимальное значение равно \(\frac{1}{9}\).

г) Рассмотрим выражение \(\left(4a + 1 \frac{1}{7}\right)\left(1 \frac{1}{7} — 4a\right)\). Запишем смешанные числа в дробном виде: \(1 \frac{1}{7} = \frac{8}{7}\). Тогда выражение:

\[
\left(4a + \frac{8}{7}\right)\left(\frac{8}{7} — 4a\right).
\]

По формуле разности квадратов:

\[
\left(\frac{8}{7}\right)^2 — (4a)^2 = \frac{64}{49} — 16a^2.
\]

Максимальное значение достигается при \(a = 0\), так как \(a^2 \geq 0\), и тогда значение равно \(\frac{64}{49}\).

Таким образом, во всех случаях выражения имеют вид разности квадратов, что позволяет легко определить их максимальные значения, достигающиеся при обнулении переменной, входящей в квадрат.