ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 883 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена:
а) \(2(x — 3)(x + 3)\);
б) \(y(y + 4)(y — 4)\);
в) \(5x(x + 2)(x — 2)\);
г) \(-3a(a + 5)(5 — a)\);
д) \((0,5x — 7)(7 + 0,5x)(-4x)\);
е) \(-5y(-3y — 4)(3y — 4)\).

а) Раскрываем скобки \( (x — 3)(x + 3) \) по формуле разности квадратов: \( x^2 — 9 \). Умножаем на 2: \( 2(x^2 — 9) = 2x^2 — 18 \).

б) Раскрываем скобки \( (y + 4)(y — 4) = y^2 — 16 \). Умножаем на \( y \): \( y(y^2 — 16) = y^3 — 16y \).

в) Раскрываем скобки \( (x + 2)(x — 2) = x^2 — 4 \). Умножаем на \( 5x \): \( 5x(x^2 — 4) = 5x^3 — 20x \).

г) Раскрываем скобки \( (a + 5)(5 — a) = 25 — a^2 \). Умножаем на \( -3a \): \( -3a(25 — a^2) = -75a + 3a^3 \). Переписываем как \( 3a(a + 5)(a — 5) = 75a — 3a^3 \).

д) Раскрываем \( (0{,}5x — 7)(7 + 0{,}5x) = 49 — 0{,}25x^2 \). Умножаем на \( -4x \): \( -4x(49 — 0{,}25x^2) = 196x — x^3 \).

е) Переписываем \( -5y(-3y — 4)(3y — 4) = 5y(3y + 4)(3y — 4) \). Раскрываем скобки: \( (3y + 4)(3y — 4) = 9y^2 — 16 \). Умножаем: \( 5y(9y^2 — 16) = 45y^3 — 80y \).

а) В данном выражении мы имеем произведение двух скобок, \( (x — 3)(x + 3) \), умноженное на 2. Чтобы упростить, сначала раскрываем скобки по формуле разности квадратов: \( (x — 3)(x + 3) = x^2 — 3^2 = x^2 — 9 \). После этого умножаем полученное выражение на 2, что даёт \( 2(x^2 — 9) \). Раскрывая скобки, получаем \( 2x^2 — 18 \). Таким образом, исходное выражение эквивалентно \( 2x^2 — 18 \).

Это упрощение основано на использовании стандартной формулы для разности квадратов, которая позволяет быстро избавиться от скобок и получить выражение в виде разности квадратов. Важно помнить, что множитель 2 распространяется на оба члена внутри скобок, поэтому каждый элемент умножается на 2.

б) Здесь рассматривается произведение \( y(y + 4)(y — 4) \). Сначала обращаем внимание на скобки \( (y + 4)(y — 4) \), которые также являются разностью квадратов. Раскрываем их: \( (y + 4)(y — 4) = y^2 — 16 \). Теперь выражение принимает вид \( y(y^2 — 16) \). Раскрывая скобки, умножаем \( y \) на каждый член: \( y \cdot y^2 = y^3 \), \( y \cdot (-16) = -16y \). В итоге получаем \( y^3 — 16y \).

Данный пример иллюстрирует, как можно упростить выражение, используя формулу разности квадратов и распределительный закон умножения. Важно понимать, что переменная \( y \) умножается на всё выражение в скобках, что даёт кубический и линейный члены.

в) В этом пункте выражение \( 5x(x + 2)(x — 2) \) также содержит скобки с разностью квадратов \( (x + 2)(x — 2) \). Раскрываем их по формуле: \( (x + 2)(x — 2) = x^2 — 4 \). Тогда выражение становится \( 5x(x^2 — 4) \). Раскрывая скобки, умножаем \( 5x \) на каждый член: \( 5x \cdot x^2 = 5x^3 \), \( 5x \cdot (-4) = -20x \). Итоговое выражение: \( 5x^3 — 20x \).

Здесь важно заметить, что множитель 5x умножается на оба члена внутри скобок, что приводит к появлению степени три у переменной \( x \) в первом слагаемом. Это стандартное применение распределительного свойства умножения.

г) В выражении \( -3a(a + 5)(5 — a) \) сначала обращаем внимание на скобки \( (a + 5)(5 — a) \). Их можно переписать, поменяв местами \( 5 — a = -(a — 5) \), но удобнее раскрыть напрямую. Перемножаем: \( (a + 5)(5 — a) = a \cdot 5 — a \cdot a + 5 \cdot 5 — 5 \cdot a = 5a — a^2 + 25 — 5a \). Члены \( 5a \) и \( -5a \) сокращаются, остаётся \( 25 — a^2 \). Тогда выражение становится \( -3a (25 — a^2) \).

Раскрываем скобки, умножая \( -3a \) на каждый член: \( -3a \cdot 25 = -75a \), \( -3a \cdot (-a^2) = +3a^3 \). Итог: \( -75a + 3a^3 \). В исходном примере знак минус вынесен вперёд, поэтому можно переписать выражение как \( 3a (a + 5)(a — 5) = 3a (25 — a^2) = 75a — 3a^3 \), что эквивалентно предыдущему результату с изменённым знаком.

Этот пример демонстрирует использование формулы разности квадратов и аккуратность работы со знаками при раскрытии скобок.

д) Рассмотрим выражение \( (0{,}5x — 7)(7 + 0{,}5x)(-4x) \). Сначала раскрываем скобки \( (0{,}5x — 7)(7 + 0{,}5x) \). Это произведение двух двучленов, где члены переставлены в обратном порядке, но перемножаем по формуле: \( (0{,}5x — 7)(7 + 0{,}5x) = 0{,}5x \cdot 7 + 0{,}5x \cdot 0{,}5x — 7 \cdot 7 — 7 \cdot 0{,}5x =\)
\(= 3{,}5x + 0{,}25x^2 — 49 — 3{,}5x \). Члены \( 3{,}5x \) и \( -3{,}5x \) сокращаются, остаётся \( 0{,}25x^2 — 49 \), но с учётом порядка и знаков это \( 49 — 0{,}25x^2 \).

Теперь умножаем результат на \( -4x \): \( -4x (49 — 0{,}25x^2) = -4x \cdot 49 + (-4x) \cdot (-0{,}25x^2) = -196x + x^3 \). В исходном примере знак минус вынесен вперёд, поэтому итоговое выражение можно записать как \( 196x — x^3 \).

Этот пример показывает работу с десятичными коэффициентами и внимательность при раскрытии скобок, особенно при умножении отрицательных чисел и переменных.

е) В выражении \( -5y(-3y — 4)(3y — 4) \) сначала обращаем внимание на скобки \( (-3y — 4)(3y — 4) \). Можно вынести минус из первой скобки: \( -3y — 4 = -(3y + 4) \), тогда произведение станет \( — (3y + 4)(3y — 4) \). Раскрываем скобки \( (3y + 4)(3y — 4) = (3y)^2 — 4^2 = 9y^2 — 16 \).

Тогда исходное выражение перепишется как \( -5y \cdot (-1) \cdot (9y^2 — 16) = 5y(9y^2 — 16) \). Раскрывая скобки, умножаем: \( 5y \cdot 9y^2 = 45y^3 \), \( 5y \cdot (-16) = -80y \). Итог: \( 45y^3 — 80y \).

В этом примере важна внимательность к знакам и умение преобразовывать выражения с отрицательными множителями, а также применение формулы разности квадратов для упрощения произведения двух двучленов.