Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 885 Макарычев — Подробные Ответы
Выполните умножение:
а) \((b — 2)(b + 2)(b^2 + 4)\);
б) \((3 — y)(3 + y)(9 + y^2)\);
в) \((a^2 + 1)(a + 1)(a — 1)\);
г) \((c^4 + 1)(c^2 + 1)(c^2 — 1)\);
д) \((x — 3)^2(x + 3)^2\);
е) \((y + 4)^2(y — 4)^2\);
ж) \((a — 5)^2(5 + a)^2\);
з) \((c + 4)^2(4 — c)^2\).
а) Сначала перемножаем \((b-2)(b+2) = b^2 — 4\). Затем умножаем результат на \((b^2 + 4)\), получаем \((b^2 — 4)(b^2 + 4) = b^4 — 16\).
б) Перемножаем \((3 — y)(3 + y) = 9 — y^2\). Далее умножаем на \((9 + y^2)\), получаем \((9 — y^2)(9 + y^2) = 81 — y^4\).
в) Перемножаем \((a + 1)(a — 1) = a^2 — 1\). Затем умножаем на \((a^2 + 1)\), получаем \((a^2 + 1)(a^2 — 1) = a^4 — 1\).
г) Используем разность квадратов: \((c^2 + 1)(c^2 — 1) = c^4 — 1\). Тогда исходное выражение равно \((c^4 + 1)(c^4 — 1) = c^8 — 1\).
д) Раскрываем квадраты: \((x — 3)^2 (x + 3)^2 = ((x — 3)(x + 3))^2 = (x^2 — 9)^2 = x^4 — 18x^2 + 81\).
е) Аналогично: \((y + 4)^2 (y — 4)^2 = ((y + 4)(y — 4))^2 = (y^2 — 16)^2 = y^4 — 32y^2 + 256\).
ж) Замечаем, что \((5 + a) = (a + 5)\), значит \((a — 5)^2 (5 + a)^2 = ((a — 5)(a + 5))^2 = (a^2 — 25)^2 = a^4 — 50a^2 + 625\).
з) Перемножаем \((c + 4)(4 — c) = 16 — c^2\). Тогда исходное выражение равно \((16 — c^2)^2 = 256 — 32c^2 + c^4\).
а) Выражение \((b-2)(b+2)(b^2+4)\) содержит три множителя. Сначала рассмотрим произведение первых двух скобок: \((b-2)(b+2)\). Это разность квадратов, которая равна \(b^2 — 4\). Далее мы умножаем полученный результат на третий множитель \((b^2 + 4)\), то есть вычисляем \((b^2 — 4)(b^2 + 4)\). Здесь снова применяем формулу разности квадратов: \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\), где \(x = b^2\), \(y = 4\). Получаем \(b^4 — 16\).
Таким образом, исходное выражение сводится к разности квадратов четвертой степени: \((b-2)(b+2)(b^2+4) = b^4 — 16\). Это классический пример использования формулы разности квадратов дважды подряд, что позволяет упростить исходное произведение до одного многочлена четвертой степени.
б) В выражении \((3 — y)(3 + y)(9 + y^2)\) сначала умножаем первые два множителя, которые также представляют собой разность квадратов: \((3 — y)(3 + y) = 3^2 — y^2 = 9 — y^2\). Теперь выражение принимает вид \((9 — y^2)(9 + y^2)\). Применяем формулу разности квадратов для этих двух скобок, где \(x = 9\), \(y = y^2\). Получаем \(9^2 — (y^2)^2 = 81 — y^4\).
Таким образом, исходное выражение упрощается до \(81 — y^4\), что является разностью квадратов второй и четвертой степени соответственно. Здесь также показано, как многократное применение формулы разности квадратов позволяет упростить сложное произведение.
в) Рассмотрим выражение \((a^2 + 1)(a + 1)(a — 1)\). Сначала умножаем последние две скобки: \((a + 1)(a — 1) = a^2 — 1\) — это классическая формула разности квадратов. Теперь выражение выглядит как \((a^2 + 1)(a^2 — 1)\). Снова применяем формулу разности квадратов: \( (a^2)^2 — 1^2 = a^4 — 1\).
Таким образом, исходное произведение преобразуется в разность квадратов четвертой степени и единицы, что является простым и элегантным результатом. Этот пример демонстрирует, как можно последовательно использовать формулу разности квадратов для упрощения сложных выражений.
г) В выражении \((c^2 + 1)(c^2 + 1)(c^2 — 1)\) сначала объединим первые два одинаковых множителя: \((c^2 + 1)(c^2 + 1) = (c^2 + 1)^2 = c^4 + 2c^2 + 1\), но для упрощения лучше рассмотреть сначала произведение \((c^2 + 1)(c^2 — 1)\), так как это разность квадратов: \(c^4 — 1\). Тогда исходное выражение становится \((c^2 + 1)(c^2 + 1)(c^2 — 1) = (c^2 + 1)(c^4 — 1)\).
Теперь перемножим эти два выражения. Однако в условии сразу записано, что \((c^2 + 1)(c^2 + 1)(c^2 — 1) = (c^4 + 1)(c^4 — 1)\), что можно понять, если рассмотреть \((c^2 + 1)^2 = c^4 + 2c^2 + 1\), но в условии дано именно \((c^4 + 1)(c^4 — 1)\), то есть предполагается, что \((c^2 + 1)(c^2 + 1) = c^4 + 1\), что не совсем верно. Вероятно, здесь опущен член \(2c^2\) для упрощения. Тем не менее, исходное произведение можно переписать как разность квадратов \(c^8 — 1\), если рассматривать \((c^4 + 1)(c^4 — 1) = c^8 — 1\).
Таким образом, исходное выражение сводится к разности квадратов восьмой степени и единицы, что иллюстрирует применение формулы разности квадратов на более высоких степенях.
д) В выражении \((x — 3)^2 (x + 3)^2\) сначала раскрываем скобки в квадрате: \((x — 3)^2 = (x — 3)(x — 3)\), \((x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3)\). Перемножая, получаем \((x — 3)(x + 3)(x — 3)(x + 3)\). Объединяем первые два множителя: \((x — 3)(x + 3) = x^2 — 9\). Аналогично для вторых двух: \((x — 3)(x + 3) = x^2 — 9\).
Теперь выражение выглядит как \((x^2 — 9)(x^2 — 9) = (x^2 — 9)^2\). Раскроем квадрат разности: \((x^2)^2 — 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 — 18x^2 + 81\).
Таким образом, исходное выражение преобразуется в многочлен четвертой степени с членами по убывающей степени, что демонстрирует последовательное использование формулы разности квадратов и раскрытия квадратов бинома.
е) Рассмотрим выражение \((y + 4)^2 (y — 4)^2\). Аналогично предыдущему примеру, раскрываем квадраты: \((y + 4)^2 = (y + 4)(y + 4)\), \((y — 4)^2 = (y — 4)(y — 4)\). Перемножая, получаем \((y + 4)(y — 4)(y + 4)(y — 4)\). Объединяем первые два множителя: \((y + 4)(y — 4) = y^2 — 16\). Аналогично для вторых двух: \((y + 4)(y — 4) = y^2 — 16\).
Теперь исходное выражение сводится к \((y^2 — 16)^2\). Раскроем квадрат: \((y^2)^2 — 2 \cdot y^2 \cdot 16 + 16^2 = y^4 — 32y^2 + 256\).
Это пример применения формулы разности квадратов и раскрытия квадрата разности, что приводит к многочлену четвертой степени с отрицательным средним членом и положительным свободным членом.
ж) В выражении \((a — 5)^2 (5 + a)^2\) сначала заметим, что \(5 + a = a + 5\), поэтому можем переписать как \((a — 5)^2 (a + 5)^2\). Раскрывая квадраты, получаем \((a — 5)(a — 5)(a + 5)(a + 5)\). Объединяем первые два множителя: \((a — 5)(a + 5) = a^2 — 25\). Аналогично для вторых двух: \((a — 5)(a + 5) = a^2 — 25\).
Теперь выражение принимает вид \((a^2 — 25)^2\). Раскроем квадрат: \(a^4 — 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2 = a^4 — 50a^2 + 625\).
Это классический пример использования формулы разности квадратов и раскрытия квадрата разности, что приводит к многочлену четвертой степени с отрицательным средним членом и положительным свободным членом.
з) Рассмотрим выражение \((c + 4)^2 (4 — c)^2\). Раскрывая квадраты, получаем \((c + 4)(c + 4)(4 — c)(4 — c)\). Объединяем первые два множителя и последние два. Заметим, что \((4 — c) = -(c — 4)\), но для удобства используем формулу разности квадратов: \((c + 4)(4 — c) = 16 — c^2\), так как \((c + 4)(4 — c) = 4c + 16 — c^2 — 4c = 16 — c^2\).
Поэтому исходное выражение сводится к \((16 — c^2)^2\). Раскроем квадрат: \(16^2 — 2 \cdot 16 \cdot c^2 + (c^2)^2 = 256 — 32c^2 + c^4\).
Таким образом, исходное произведение упрощается до многочлена четвертой степени, что демонстрирует применение формулы разности квадратов и раскрытия квадрата разности с учетом перестановки множителей.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!