ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 888 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.

Рассмотрим число \( x \). Его квадрат равен \( x^2 \) и, согласно условию, он на единицу больше произведения предыдущего числа \( (x — 1) \) и следующего числа \( (x + 1) \).

Составим уравнение: \( x^2 — (x — 1)(x + 1) = 1 \).

Раскроем скобки: \( (x — 1)(x + 1) = x^2 — 1 \), тогда уравнение примет вид \( x^2 — (x^2 — 1) = 1 \).

Упростим выражение: \( x^2 — x^2 + 1 = 1 \), что даёт \( 1 = 1 \) — верное равенство.

Таким образом, исходное утверждение доказано.

Рассмотрим число \( x \). Пусть оно произвольное. Тогда его квадрат равен \( x^2 \). По условию, этот квадрат на единицу больше произведения предыдущего числа \( (x — 1) \) и следующего числа \( (x + 1) \). Другими словами, если мы возьмём число, которое идёт перед \( x \), и число, которое идёт после \( x \), и перемножим их, а затем прибавим 1, то получим квадрат числа \( x \).

Запишем это в виде уравнения. Произведение предыдущего и следующего чисел — это \( (x — 1)(x + 1) \). По условию, квадрат числа \( x \) на 1 больше этого произведения, значит: \( x^2 = (x — 1)(x + 1) + 1 \). Переносим все слагаемые в одну часть уравнения, чтобы получить равенство, равное нулю: \( x^2 — (x — 1)(x + 1) = 1 \). Это уравнение выражает основное условие задачи.

Раскроем скобки в уравнении. Произведение \( (x — 1)(x + 1) \) равно \( x^2 — 1 \), так как это разность квадратов. Подставим это в уравнение: \( x^2 — (x^2 — 1) = 1 \). Упростим выражение: \( x^2 — x^2 + 1 = 1 \). Получаем \( 1 = 1 \), что является истинным равенством. Это доказывает, что исходное утверждение верно для любого числа \( x \).

Таким образом, мы показали, что квадрат числа \( x \) действительно на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел. Уравнение сводится к тождеству, что и требовалось доказать. Это подтверждает правильность исходного утверждения, и задача решена полностью.