ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 899 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:
а) \(x^2 — y^2\);
б) \(c^2 — z^2\);
в) \(a^2 — 25\);
г) \(m^2 — 1\);
д) \(16 — b^2\);
е) \(100 — x^2\);
ж) \(p^2 — 400\);
з) \(y^2 — 0,09\);
и) \(1,44 — a^2\);
к) \(b^2 — \frac{4}{9}\);
л) \(\frac{9}{16} — n^2\);
м) \(\frac{25}{49} — p^2\).

а) \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\)

б) \(c^2 — z^2 = (c — z)(c + z)\)

в) \(a^2 — 25 = a^2 — 5^2 = (a — 5)(a + 5)\)

г) \(m^2 — 1 = (m — 1)(m + 1)\)

д) \(16 — b^2 = 4^2 — b^2 = (4 — b)(4 + b)\)

е) \(100 — x^2 = 10^2 — x^2 = (10 — x)(10 + x)\)

ж) \(p^2 — 400 = p^2 — 20^2 = (p — 20)(p + 20)\)

з) \(y^2 — 0,09 = y^2 — 0,3^2 = (y — 0,3)(y + 0,3)\)

и) \(1,44 — a^2 = 1,2^2 — a^2 = (1,2 — a)(1,2 + a)\)

к) \(b^2 — \frac{4}{9} = b^2 — \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(b — \frac{2}{3}\right)\left(b + \frac{2}{3}\right)\)

л) \(\frac{9}{16} — n^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 — n^2 = \left(\frac{3}{4} — n\right)\left(\frac{3}{4} + n\right)\)

м) \(\frac{25}{49} — p^2 = \left(\frac{5}{7}\right)^2 — p^2 = \left(\frac{5}{7} — p\right)\left(\frac{5}{7} + p\right)\)

а) Рассмотрим выражение \(x^2 — y^2\). Это разность квадратов двух переменных \(x\) и \(y\). По формуле разности квадратов, любое выражение вида \(a^2 — b^2\) можно разложить на произведение двух скобок: \((a — b)(a + b)\). Здесь \(a = x\), \(b = y\), поэтому \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Это разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений.

Данная формула работает, потому что при раскрытии скобок \((x — y)(x + y)\) мы получаем \(x^2 + xy — xy — y^2 = x^2 — y^2\). Произведение средних членов взаимно уничтожается, что и приводит к исходному выражению. Это классический приём в алгебре, который часто используется для факторизации.

б) Аналогично первому примеру, рассмотрим \(c^2 — z^2\). Это также разность квадратов, где \(a = c\), \(b = z\). По той же формуле разности квадратов раскладываем на \((c — z)(c + z)\). Это позволяет упростить выражение или подготовить его к дальнейшему анализу, например, к решению уравнений или упрощению дробей.

При раскрытии скобок: \((c — z)(c + z) = c^2 + cz — cz — z^2 = c^2 — z^2\). Этот приём универсален и работает для любых переменных и чисел, что делает его важным инструментом в алгебре.

в) В выражении \(a^2 — 25\) видим разность квадратов, где \(a^2\) — квадрат переменной, а 25 — квадрат числа 5, так как \(25 = 5^2\). Следовательно, можно применить формулу разности квадратов: \(a^2 — 5^2 = (a — 5)(a + 5)\). Это разложение упрощает работу с выражением и помогает при решении уравнений.

Такое разложение основано на том, что произведение \((a — 5)(a + 5)\) при раскрытии даёт \(a^2 + 5a — 5a — 25 = a^2 — 25\). Средние члены взаимно уничтожаются, что подтверждает правильность разложения.

г) Выражение \(m^2 — 1\) — это разность квадратов, где \(m^2\) — квадрат переменной \(m\), а 1 — квадрат числа 1, так как \(1 = 1^2\). Применяем формулу разности квадратов: \(m^2 — 1^2 = (m — 1)(m + 1)\). Это позволяет факторизовать выражение и упростить дальнейшие вычисления.

При раскрытии: \((m — 1)(m + 1) = m^2 + m — m — 1 = m^2 — 1\). Этот приём часто используется в алгебре для упрощения и решения задач.

д) Рассмотрим \(16 — b^2\). Число 16 — это квадрат числа 4, так как \(16 = 4^2\). Значит, выражение — разность квадратов: \(4^2 — b^2\). По формуле разности квадратов раскладываем на \((4 — b)(4 + b)\). Такое разложение помогает упростить выражение и использовать его в решении уравнений.

При раскрытии скобок: \((4 — b)(4 + b) = 16 + 4b — 4b — b^2 = 16 — b^2\). Средние члены взаимно уничтожаются, что подтверждает корректность разложения.

е) В выражении \(100 — x^2\) число 100 — квадрат числа 10, так как \(100 = 10^2\). Значит, это разность квадратов: \(10^2 — x^2\). Применяем формулу разности квадратов и раскладываем на \((10 — x)(10 + x)\). Это упрощает работу с выражением и позволяет решать уравнения более эффективно.

Раскрывая скобки, получаем: \((10 — x)(10 + x) = 100 + 10x — 10x — x^2 = 100 — x^2\). Средние члены взаимно уничтожаются, что подтверждает правильность разложения.

ж) Рассмотрим \(p^2 — 400\). Число 400 — квадрат числа 20, так как \(400 = 20^2\). Значит, выражение — разность квадратов: \(p^2 — 20^2\). По формуле разности квадратов раскладываем на \((p — 20)(p + 20)\). Это упрощает выражение и помогает при решении задач.

При раскрытии скобок: \((p — 20)(p + 20) = p^2 + 20p — 20p — 400 = p^2 — 400\). Средние члены взаимно уничтожаются, что доказывает правильность данного разложения.

з) В выражении \(y^2 — 0,09\) число 0,09 — квадрат числа 0,3, так как \(0,09 = 0,3^2\). Это разность квадратов: \(y^2 — 0,3^2\). Применяем формулу разности квадратов и раскладываем на \((y — 0,3)(y + 0,3)\). Это позволяет упростить выражение.

Раскрывая скобки: \((y — 0,3)(y + 0,3) = y^2 + 0,3y — 0,3y — 0,09 = y^2 — 0,09\). Средние члены взаимно уничтожаются, что подтверждает корректность разложения.

и) Рассмотрим \(1,44 — a^2\). Число 1,44 — квадрат числа 1,2, так как \(1,44 = 1,2^2\). Значит, это разность квадратов: \(1,2^2 — a^2\). По формуле разности квадратов раскладываем на \((1,2 — a)(1,2 + a)\). Это упрощает выражение и облегчает решение уравнений.

При раскрытии скобок: \((1,2 — a)(1,2 + a) = 1,44 + 1,2a — 1,2a — a^2 = 1,44 — a^2\). Средние члены взаимно уничтожаются, что доказывает правильность разложения.

к) В выражении \(b^2 — \frac{4}{9}\) число \(\frac{4}{9}\) — квадрат числа \(\frac{2}{3}\), так как \(\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2\). Значит, это разность квадратов: \(b^2 — \left(\frac{2}{3}\right)^2\). По формуле разности квадратов раскладываем на \(\left(b — \frac{2}{3}\right)\left(b + \frac{2}{3}\right)\). Это помогает упростить выражение.

Раскрывая скобки: \(\left(b — \frac{2}{3}\right)\left(b + \frac{2}{3}\right) = b^2 + \frac{2}{3}b — \frac{2}{3}b — \frac{4}{9} = b^2 — \frac{4}{9}\). Средние члены взаимно уничтожаются, что подтверждает корректность разложения.

л) Рассмотрим \(\frac{9}{16} — n^2\). Число \(\frac{9}{16}\) — квадрат числа \(\frac{3}{4}\), так как \(\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2\). Значит, это разность квадратов: \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 — n^2\). По формуле разности квадратов раскладываем на \(\left(\frac{3}{4} — n\right)\left(\frac{3}{4} + n\right)\). Это упрощает выражение.

При раскрытии: \(\left(\frac{3}{4} — n\right)\left(\frac{3}{4} + n\right) = \frac{9}{16} + \frac{3}{4}n — \frac{3}{4}n — n^2 = \frac{9}{16} — n^2\). Средние члены взаимно уничтожаются, что доказывает правильность разложения.

м) В выражении \(\frac{25}{49} — p^2\) число \(\frac{25}{49}\) — квадрат числа \(\frac{5}{7}\), так как \(\frac{25}{49} = \left(\frac{5}{7}\right)^2\). Значит, это разность квадратов: \(\left(\frac{5}{7}\right)^2 — p^2\). Применяем формулу разности квадратов и раскладываем на \(\left(\frac{5}{7} — p\right)\left(\frac{5}{7} + p\right)\). Это упрощает выражение.

Раскрывая скобки: \(\left(\frac{5}{7} — p\right)\left(\frac{5}{7} + p\right) = \frac{25}{49} + \frac{5}{7}p — \frac{5}{7}p — p^2 = \frac{25}{49} — p^2\). Средние члены взаимно уничтожаются, что подтверждает корректность разложения.