ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 901 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:
а) \(x^2 — 64\);
б) \(0,16 — c^2\);
в) \(121 — m^2\);
г) \(-81 + 25y^2\);
д) \(144b^2 — c^2\);
е) \(0,64x^2 — 0,49y^2\);
ж) \(x^2 y^2 — 0,25\);
з) \(c^2 d^2 — a^2\);
и) \(a^2 x^2 — 4y^2\).

а) \(x^2 — 64 = (x — 8)(x + 8)\)
б) \(0,16 — c^2 = (0,4 — c)(0,4 + c)\)
в) \(121 — m^2 = (11 — m)(11 + m)\)
г) \(-81 + 25y^2 = (5y — 9)(5y + 9)\)
д) \(144b^2 — c^2 = (12b — c)(12b + c)\)
е) \(0,64x^2 — 0,49y^2 = (0,8x — 0,7y)(0,8x + 0,7y)\)
ж) \(x^2 y^2 — 0,25 = (xy — 0,5)(xy + 0,5)\)
з) \(c^2 d^2 — a^2 = (cd — a)(cd + a)\)
и) \(a^2 x^2 — 4y^2 = (ax — 2y)(ax + 2y)\)

а) Выражение \(x^2 — 64\) представляет собой разность квадратов, так как \(64 = 8^2\). Разность квадратов можно разложить по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = x\), \(b = 8\). Поэтому \(x^2 — 64 = (x — 8)(x + 8)\). Это разложение позволяет представить исходное выражение в виде произведения двух двучленов, что упрощает дальнейшие вычисления.

Такое разложение полезно, поскольку позволяет упростить выражения, решать уравнения и находить корни. Например, уравнение \(x^2 — 64 = 0\) эквивалентно \((x — 8)(x + 8) = 0\), откуда \(x = 8\) или \(x = -8\).

б) В выражении \(0,16 — c^2\) также видна разность квадратов: \(0,16 = (0,4)^2\). Применяя формулу разности квадратов для \(a = 0,4\), \(b = c\), получаем \(0,16 — c^2 = (0,4 — c)(0,4 + c)\). Это разложение разбивает исходный многочлен на произведение двух линейных множителей, что облегчает работу с ним.

Использование этой формулы позволяет быстро находить корни уравнений и упрощать выражения, особенно когда присутствуют квадраты с разными переменными или числами.

в) В выражении \(121 — m^2\) число \(121\) — это квадрат числа \(11\), то есть \(121 = 11^2\). Опять видим разность квадратов, где \(a = 11\), \(b = m\). Применяем формулу: \(121 — m^2 = (11 — m)(11 + m)\). Это разложение удобно для решения уравнений и анализа выражений, так как позволяет представить сложное выражение через произведение двух простых.

Такое разложение часто используется для нахождения нулей функции, так как уравнение \(121 — m^2 = 0\) эквивалентно \((11 — m)(11 + m) = 0\), давая корни \(m = 11\) и \(m = -11\).

г) В выражении \(-81 + 25y^2\) можно переставить слагаемые, получив \(25y^2 — 81\). Здесь \(25y^2 = (5y)^2\), а \(81 = 9^2\), что снова образует разность квадратов. Применяем формулу с \(a = 5y\), \(b = 9\): \(25y^2 — 81 = (5y — 9)(5y + 9)\). Перестановка слагаемых не меняет значения выражения, но облегчает применение формулы.

Это разложение облегчает работу с выражением при решении уравнений и упрощении алгебраических выражений, позволяя заменить квадрат разности на произведение двух двучленов.

д) В выражении \(144b^2 — c^2\) обе части являются квадратами: \(144b^2 = (12b)^2\) и \(c^2 = c^2\). Применяем формулу разности квадратов с \(a = 12b\), \(b = c\): \(144b^2 — c^2 = (12b — c)(12b + c)\). Это разложение упрощает выражение и помогает при решении уравнений.

Такое разложение особенно полезно, когда переменные умножены на коэффициенты, позволяя выделить общий множитель и представить выражение в более удобной форме.

е) В выражении \(0,64x^2 — 0,49y^2\) заметим, что \(0,64 = (0,8)^2\), а \(0,49 = (0,7)^2\). Значит, выражение — разность квадратов с \(a = 0,8x\), \(b = 0,7y\). Применяем формулу: \(0,64x^2 — 0,49y^2 = (0,8x — 0,7y)(0,8x + 0,7y)\). Это разложение позволяет выразить исходное выражение через произведение двух двучленов с переменными.

Такое разложение удобно для упрощения выражений с десятичными коэффициентами и переменными, а также для решения уравнений, где переменные связаны с коэффициентами.

ж) В выражении \(x^2 y^2 — 0,25\) заметим, что \(x^2 y^2 = (xy)^2\) и \(0,25 = (0,5)^2\). Это разность квадратов с \(a = xy\), \(b = 0,5\). Применяем формулу: \(x^2 y^2 — 0,25 = (xy — 0,5)(xy + 0,5)\). Разложение позволяет представить исходное выражение как произведение двух выражений, каждое из которых линейно зависит от произведения переменных.

Такое представление упрощает работу с многочленами, содержащими произведения переменных, и помогает при решении уравнений.

з) В выражении \(c^2 d^2 — a^2\) заметим, что \(c^2 d^2 = (cd)^2\), а \(a^2 = a^2\). Это разность квадратов с \(a = cd\), \(b = a\). Применяем формулу: \(c^2 d^2 — a^2 = (cd — a)(cd + a)\). Это разложение позволяет упростить исходное выражение и представить его в виде произведения двух двучленов.

Такое разложение полезно для упрощения выражений с произведениями переменных и решения соответствующих уравнений.

и) В выражении \(a^2 x^2 — 4 y^2\) видим, что \(a^2 x^2 = (ax)^2\) и \(4 y^2 = (2y)^2\). Это разность квадратов с \(a = ax\), \(b = 2y\). Применяем формулу: \(a^2 x^2 — 4 y^2 = (ax — 2y)(ax + 2y)\). Это разложение позволяет представить исходное выражение через произведение двух линейных двучленов с переменными и коэффициентами.

Такое разложение облегчает работу с выражениями, содержащими произведения переменных, и помогает быстро находить корни уравнений.