ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 902 Макарычев — Подробные Ответы

Вычислите:
а) \(47^2 — 37^2\);
б) \(53^2 — 63^2\);
в) \(126^2 — 74^2\);
г) \(21,3^2 — 21,2^2\);
д) \(0,849^2 — 0,151^2\);
е) \(\left(\frac{5}{3}\right)^2 — \left(\frac{4}{3}\right)^2\).

а) Используем формулу разности квадратов: \(47^2 — 37^2 = (47 — 37)(47 + 37)\). Вычисляем: \(10 \cdot 84 = 840\).

б) По формуле: \(53^2 — 63^2 = (53 — 63)(53 + 63)\). Получаем: \(-10 \cdot 116 = -1160\).

в) По формуле: \(126^2 — 74^2 = (126 — 74)(126 + 74)\). Вычисляем: \(52 \cdot 200 = 10400\).

г) Применяем формулу: \(21{,}3^2 — 21{,}2^2 = (21{,}3 — 21{,}2)(21{,}3 + 21{,}2)\). Получаем: \(0{,}1 \cdot 42{,}5 = 4{,}25\).

д) Используем формулу: \(0{,}849^2 — 0{,}151^2 = (0{,}849 — 0{,}151)(0{,}849 + 0{,}151)\). Вычисляем: \(0{,}698 \cdot 1 = 0{,}698\).

е) Преобразуем смешанные числа: \(5 \frac{2}{3} = \frac{17}{3}\), \(4 \frac{1}{3} = \frac{13}{3}\). По формуле: \(\left(\frac{17}{3}\right)^2 — \left(\frac{13}{3}\right)^2 = \left(\frac{17}{3} — \frac{13}{3}\right)\left(\frac{17}{3} + \frac{13}{3}\right)\). Вычисляем: \(\frac{4}{3} \cdot \frac{30}{3} = \frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3}\).

а) Рассмотрим выражение \(47^2 — 37^2\). Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = 47\), \(b = 37\). Сначала вычислим разность и сумму чисел: \(47 — 37 = 10\) и \(47 + 37 = 84\). После этого произведём умножение: \(10 \cdot 84 = 840\). Таким образом, исходное выражение равно 840.

Использование формулы разности квадратов позволяет упростить вычисления и избежать возведения больших чисел в квадрат. Вместо этого мы сводим задачу к умножению двух чисел, что значительно удобнее и быстрее. Такой приём часто применяется для упрощения арифметических операций с большими числами.

Этот метод универсален и работает для любых чисел, где нужно найти разность их квадратов. В данном случае, благодаря формуле, мы получили точный результат без сложных вычислений.

б) Теперь рассмотрим выражение \(53^2 — 63^2\). По той же формуле разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = 53\), \(b = 63\). Найдём сначала разность: \(53 — 63 = -10\). Затем сумму: \(53 + 63 = 116\). Теперь перемножим эти значения: \(-10 \cdot 116 = -1160\). Итоговое значение равно \(-1160\).

Важно отметить, что разность \(a — b\) может быть отрицательной, и это влияет на знак результата. В данном случае, поскольку \(a < b\), результат отрицателен. Формула работает корректно вне зависимости от порядка чисел.

Таким образом, применение формулы разности квадратов позволяет быстро вычислить значения, избегая возведения в степень и сложных арифметических действий.

в) Рассмотрим выражение \(126^2 — 74^2\). По формуле: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = 126\), \(b = 74\). Сначала вычислим разность: \(126 — 74 = 52\), а затем сумму: \(126 + 74 = 200\). Перемножим полученные числа: \(52 \cdot 200 = 10400\). Следовательно, исходное выражение равно 10400.

Такое разложение значительно упрощает вычисления, так как возведение в квадрат больших чисел можно заменить на умножение более простых чисел. Это особенно полезно при устном счёте или при отсутствии калькулятора.

Формула разности квадратов является мощным инструментом для быстрого вычисления разности квадратов без необходимости считать квадраты напрямую.

г) Рассмотрим выражение \(21{,}3^2 — 21{,}2^2\). Используем формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = 21{,}3\), \(b = 21{,}2\). Вычислим сначала разность: \(21{,}3 — 21{,}2 = 0{,}1\), затем сумму: \(21{,}3 + 21{,}2 = 42{,}5\). Перемножим: \(0{,}1 \cdot 42{,}5 = 4{,}25\). Таким образом, значение выражения равно 4,25.

Здесь важно заметить, что формула работает и с десятичными числами, а не только с целыми. Это расширяет её применение в различных задачах, связанных с вычислениями с дробными числами.

Использование формулы позволяет избежать возведения в квадрат десятичных чисел, что обычно сложнее, и свести задачу к простому умножению.

д) Рассмотрим выражение \(0{,}849^2 — 0{,}151^2\). Применяем формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = 0{,}849\), \(b = 0{,}151\). Сначала вычисляем разность: \(0{,}849 — 0{,}151 = 0{,}698\), затем сумму: \(0{,}849 + 0{,}151 = 1\). Перемножаем: \(0{,}698 \cdot 1 = 0{,}698\). Значит, исходное выражение равно 0,698.

Этот пример показывает, что сумма чисел может быть равна единице, что упрощает вычисления. Формула разности квадратов остаётся эффективной при работе с числами, меньшими единицы.

Использование этой формулы позволяет избежать сложных операций возведения в степень и получить результат быстро и точно.

е) Рассмотрим выражение \(\left(5 \frac{2}{3}\right)^2 — \left(4 \frac{1}{3}\right)^2\). Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \(5 \frac{2}{3} = \frac{17}{3}\), \(4 \frac{1}{3} = \frac{13}{3}\). Теперь выражение принимает вид \(\left(\frac{17}{3}\right)^2 — \left(\frac{13}{3}\right)^2\). По формуле разности квадратов:

\[
\left(\frac{17}{3}\right)^2 — \left(\frac{13}{3}\right)^2 = \left(\frac{17}{3} — \frac{13}{3}\right) \left(\frac{17}{3} + \frac{13}{3}\right)
\]

Вычислим разность и сумму дробей: \(\frac{17}{3} — \frac{13}{3} = \frac{4}{3}\), \(\frac{17}{3} + \frac{13}{3} = \frac{30}{3} = 10\). Перемножим: \(\frac{4}{3} \cdot 10 = \frac{40}{3}\). Преобразуем в смешанное число: \(\frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3}\).

Таким образом, исходное выражение равно \(13 \frac{1}{3}\). Здесь важно правильно преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, чтобы корректно применить формулу разности квадратов. Это облегчает вычисления и позволяет получить точный результат без лишних сложностей.