ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 903 Макарычев — Подробные Ответы

Найдите значение дроби:

а) \(\frac{36}{13^2 — 11^2}\);

б) \(\frac{79^2 — 65^2}{420}\);

в) \(\frac{53^2 — 27^2}{79^2 — 51^2}\);

г) \(\frac{53^2 — 32^2}{61^2 — 44^2}\).

а) Используем формулу разности квадратов: \(13^2 — 11^2 = (13 — 11)(13 + 11)\). Подставляем: \(= \frac{36}{2 \cdot 24}\). Упрощаем: \(= \frac{36}{48} = \frac{3}{4}\).

б) Записываем числитель как разность квадратов: \(79^2 — 65^2 = (79 — 65)(79 + 65) = 14 \cdot 144\). Получаем дробь \(\frac{14 \cdot 144}{420}\). Сокращаем: \(\frac{2016}{420} = \frac{24}{5} = 4 \frac{4}{5}\).

в) Применяем формулу разности квадратов в числителе и знаменателе: \(\frac{53^2 — 27^2}{79^2 — 51^2} = \frac{(53 — 27)(53 + 27)}{(79 — 51)(79 + 51)} = \frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130}\). Сокращаем множители: \(\frac{4}{7}\).

г) Преобразуем разности квадратов: \(\frac{53^2 — 32^2}{61^2 — 44^2} = \frac{(53 — 32)(53 + 32)}{(61 — 44)(61 + 44)} = \frac{21 \cdot 85}{17 \cdot 105}\). Сокращаем: \(\frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 5} = 1\).

а) Рассмотрим выражение \(\frac{36}{13^2 — 11^2}\). Чтобы упростить знаменатель, заметим, что это разность квадратов, которую можно разложить по формуле: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = 13\), \(b = 11\), значит знаменатель равен \((13 — 11)(13 + 11)\). Подставим значения: \(13 — 11 = 2\), \(13 + 11 = 24\), тогда знаменатель равен \(2 \cdot 24\). Теперь дробь принимает вид \(\frac{36}{2 \cdot 24}\).

Далее упростим дробь. Произведение в знаменателе равно \(48\), значит дробь \(\frac{36}{48}\). Чтобы сократить дробь, найдем общий делитель числителя и знаменателя. Оба числа делятся на 12: \(36 \div 12 = 3\), \(48 \div 12 = 4\). В итоге получаем \(\frac{3}{4}\). Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{3}{4}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{79^2 — 65^2}{420}\). В числителе снова разность квадратов, которую раскладываем как \((79 — 65)(79 + 65)\). Вычислим: \(79 — 65 = 14\), \(79 + 65 = 144\). Числитель равен произведению \(14 \cdot 144\). Подставим обратно: \(\frac{14 \cdot 144}{420}\).

Теперь упростим дробь. Сначала вычислим произведение в числителе: \(14 \cdot 144 = 2016\). Дробь равна \(\frac{2016}{420}\). Чтобы сократить, найдем общий делитель. Разделим числитель и знаменатель на 6: \(2016 \div 6 = 336\), \(420 \div 6 = 70\). Дальше сократим на 2: \(336 \div 2 = 168\), \(70 \div 2 = 35\). Теперь дробь \(\frac{168}{35}\). Делим на 7: \(168 \div 7 = 24\), \(35 \div 7 = 5\). Получаем \(\frac{24}{5}\), что можно записать как смешанное число \(4 \frac{4}{5}\).

в) Рассмотрим выражение \(\frac{53^2 — 27^2}{79^2 — 51^2}\). В числителе и знаменателе разности квадратов, раскладываем по формуле: числитель \((53 — 27)(53 + 27)\), знаменатель \((79 — 51)(79 + 51)\). Вычислим: \(53 — 27 = 26\), \(53 + 27 = 80\), \(79 — 51 = 28\), \(79 + 51 = 130\). Тогда дробь равна \(\frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130}\).

Теперь сократим дробь. Разложим на множители и упростим: числитель \(26 \cdot 80\), знаменатель \(28 \cdot 130\). Можно заметить, что \(26 = 2 \cdot 13\), \(80 = 8 \cdot 10\), \(28 = 4 \cdot 7\), \(130 = 10 \cdot 13\). Сократим множители 13 и 10: остаётся \(\frac{2 \cdot 8}{4 \cdot 7} = \frac{16}{28}\). Далее сократим на 4: \(\frac{16 \div 4}{28 \div 4} = \frac{4}{7}\). Следовательно, исходное выражение равно \(\frac{4}{7}\).

г) Рассмотрим выражение \(\frac{53^2 — 32^2}{61^2 — 44^2}\). Опять используем формулу разности квадратов: числитель \((53 — 32)(53 + 32)\), знаменатель \((61 — 44)(61 + 44)\). Вычислим: \(53 — 32 = 21\), \(53 + 32 = 85\), \(61 — 44 = 17\), \(61 + 44 = 105\). Подставим: \(\frac{21 \cdot 85}{17 \cdot 105}\).

Для упрощения разложим множители и сократим. Заметим, что \(21 = 3 \cdot 7\), \(85 = 5 \cdot 17\), \(17\) в знаменателе тоже есть, \(105 = 7 \cdot 15\). Сократим множители 17 и 7: остаётся \(\frac{3 \cdot 5}{15}\). Поскольку \(15 = 3 \cdot 5\), дробь равна \(\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 5} = 1\). Таким образом, исходное выражение равно 1.