Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 904 Макарычев — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
а) \(41^2 — 31^2\);
б) \(76^2 — 24^2\);
в) \(256^2 — 156^2\);
г) \(0,783^2 — 0,217^2\);
д) \(\frac{26^2 — 12^2}{54^2 — 16^2}\);
е) \(\frac{63^2 — 27^2}{83^2 — 79^2}\).
а) Используем формулу разности квадратов: \(41^2 — 31^2 = (41 — 31)(41 + 31) = 10 \cdot 72 = 720\).
б) Применяем ту же формулу: \(76^2 — 24^2 = (76 — 24)(76 + 24) = 52 \cdot 100 = 5200\).
в) По формуле разности квадратов: \(256^2 — 156^2 = (256 — 156)(256 + 156) = 100 \cdot 412 = 41200\).
г) Для десятичных чисел: \(0{,}783^2 — 0{,}217^2 = (0{,}783 — 0{,}217)(0{,}783 + 0{,}217) = 0{,}566 \cdot 1 = 0{,}566\).
д) Сокращаем дробь с помощью формулы: \(\frac{26^2 — 12^2}{54^2 — 16^2} = \frac{(26 — 12)(26 + 12)}{(54 — 16)(54 + 16)} = \frac{14 \cdot 38}{38 \cdot 70} = \frac{14}{70} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\).
е) Аналогично: \(\frac{63^2 — 27^2}{83^2 — 79^2} = \frac{(63 — 27)(63 + 27)}{(83 — 79)(83 + 79)} = \frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 90}{1 \cdot 162} = \frac{90}{18} = 5\).
а) Рассмотрим выражение \(41^2 — 31^2\). Здесь используется формула разности квадратов, которая гласит, что для любых чисел \(a\) и \(b\) верно равенство \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). В нашем случае \(a = 41\), \(b = 31\). Подставляем: \(41^2 — 31^2 = (41 — 31)(41 + 31)\). Вычитаем и складываем: \(41 — 31 = 10\), \(41 + 31 = 72\). Теперь умножаем полученные значения: \(10 \cdot 72 = 720\). Таким образом, исходное выражение равно 720.
Данный метод позволяет значительно упростить вычисления, так как возведение в квадрат больших чисел заменяется на более простые операции вычитания, сложения и умножения. Это удобно и быстро, особенно если числа близки друг к другу.
б) Теперь рассмотрим выражение \(76^2 — 24^2\). Аналогично предыдущему пункту применяем формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\) с \(a = 76\), \(b = 24\). Вычисляем разность и сумму: \(76 — 24 = 52\), \(76 + 24 = 100\). Перемножаем: \(52 \cdot 100 = 5200\). Таким образом, \(76^2 — 24^2 = 5200\).
Этот способ удобен тем, что вместо возведения в квадрат больших чисел мы производим простые арифметические действия. Особенно полезно, когда сумма или разность чисел дают круглые числа, упрощающие умножение.
в) Рассмотрим разность квадратов \(256^2 — 156^2\). По формуле разности квадратов: \((256 — 156)(256 + 156)\). Считаем отдельно: \(256 — 156 = 100\), \(256 + 156 = 412\). Перемножаем: \(100 \cdot 412 = 41200\). Значит, \(256^2 — 156^2 = 41200\).
Здесь видно, что разность равна 100, что значительно упрощает умножение. Вместо вычисления больших квадратов проще найти сумму и разность, а затем перемножить. Это экономит время и снижает вероятность ошибок.
г) Рассмотрим выражение с десятичными числами: \(0{,}783^2 — 0{,}217^2\). Применяем формулу разности квадратов: \((0{,}783 — 0{,}217)(0{,}783 + 0{,}217)\). Вычисляем: \(0{,}783 — 0{,}217 = 0{,}566\), \(0{,}783 + 0{,}217 = 1\). Умножаем: \(0{,}566 \cdot 1 = 0{,}566\). Таким образом, \(0{,}783^2 — 0{,}217^2 = 0{,}566\).
Этот пример демонстрирует, что формула работает не только с целыми числами, но и с десятичными дробями. Сложение и вычитание здесь также упрощают вычисления, поскольку второй множитель равен 1, что облегчает умножение.
д) Рассмотрим дробь \(\frac{26^2 — 12^2}{54^2 — 16^2}\). Применим формулу разности квадратов в числителе и знаменателе: \(\frac{(26 — 12)(26 + 12)}{(54 — 16)(54 + 16)}\). Вычисляем отдельно: \(26 — 12 = 14\), \(26 + 12 = 38\), \(54 — 16 = 38\), \(54 + 16 = 70\). Подставляем: \(\frac{14 \cdot 38}{38 \cdot 70}\). Сокращаем множитель 38 в числителе и знаменателе: \(\frac{14}{70} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\). Значит, исходная дробь равна \(\frac{1}{5}\).
Использование формулы разности квадратов здесь позволяет не только упростить вычисления, но и сократить дробь, что делает решение более элегантным и быстрым.
е) Рассмотрим выражение \(\frac{63^2 — 27^2}{83^2 — 79^2}\). Применяем формулу разности квадратов: \(\frac{(63 — 27)(63 + 27)}{(83 — 79)(83 + 79)}\). Вычисляем: \(63 — 27 = 36\), \(63 + 27 = 90\), \(83 — 79 = 4\), \(83 + 79 = 162\). Подставляем: \(\frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162}\). Сокращаем дробь, делим числитель и знаменатель на 2: \(\frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 90}{1 \cdot 162}\). Далее сокращаем на 9: \(\frac{9 \cdot 90}{162} = \frac{1 \cdot 90}{18}\). Получаем \(\frac{90}{18} = 5\). Таким образом, исходное выражение равно 5.
Этот пример показывает, как формула разности квадратов помогает не только упростить вычисления, но и облегчить сокращение дробей, что значительно ускоряет получение результата.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!