Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 905 Макарычев — Подробные Ответы
Разложите на множители:
а) \(x^4 — 9\);
б) \(25 — n^6\);
в) \(m^8 — a^2\);
г) \(y^2 — p^4\);
д) \(c^6 — d^6\);
е) \(x^6 — a^6\);
ж) \(b^4 — y^{10}\);
з) \(m^8 — n^6\);
и) \(a^4 — b^4\);
к) \(c^8 — d^8\);
л) \(a^4 — 16\);
м) \(81 — b^4\).
а) Выражение \(x^4 — 9\) — это разность квадратов, так как \(x^4 = (x^2)^2\) и \(9 = 3^2\). По формуле разности квадратов раскладываем: \(x^4 — 9 = (x^2 — 3)(x^2 + 3)\).
б) В \(25 — n^6\) заметим, что \(25 = 5^2\), а \(n^6 = (n^3)^2\). Значит, это разность квадратов: \(25 — n^6 = (5 — n^3)(5 + n^3)\).
в) Здесь \(m^8 — a^2 = (m^4)^2 — a^2\), что тоже разность квадратов. Раскладываем: \(m^8 — a^2 = (m^4 — a)(m^4 + a)\).
г) В \(y^2 — p^4\) видим \(y^2 — (p^2)^2\), разность квадратов. Получаем: \(y^2 — p^4 = (y — p^2)(y + p^2)\).
д) Выражение \(c^6 — d^6 = (c^3)^2 — (d^3)^2\) — разность квадратов. Раскладываем: \(c^6 — d^6 = (c^3 — d^3)(c^3 + d^3)\).
е) В \(x^6 — a^4\) имеем \((x^3)^2 — (a^2)^2\), разность квадратов. Значит: \(x^6 — a^4 = (x^3 — a^2)(x^3 + a^2)\).
ж) \(b^4 — y^{10} = (b^2)^2 — (y^5)^2\) — разность квадратов. Разложение: \(b^4 — y^{10} = (b^2 — y^5)(b^2 + y^5)\).
з) \(m^8 — n^6 = (m^4)^2 — (n^3)^2\), разность квадратов. Получаем: \(m^8 — n^6 = (m^4 — n^3)(m^4 + n^3)\).
и) \(a^4 — b^4 = (a^2)^2 — (b^2)^2\), разность квадратов. Раскладываем: \(a^4 — b^4 = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2)\).
к) В \(c^8 — d^8 = (c^4)^2 — (d^4)^2\) — разность квадратов. Значит: \(c^8 — d^8 = (c^4 — d^4)(c^4 + d^4)\).
л) \(a^4 — 16 = (a^2)^2 — 4^2\), разность квадратов. Раскладываем: \(a^4 — 16 = (a^2 — 4)(a^2 + 4)\).
м) \(81 — b^4 = 9^2 — (b^2)^2\), разность квадратов. Получаем: \(81 — b^4 = (9 — b^2)(9 + b^2)\).
а) Выражение \(x^4 — 9\) представляет собой разность квадратов, так как \(x^4 = (x^2)^2\) и \(9 = 3^2\). Для разности квадратов справедливо равенство: \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\). Здесь \(A = x^2\), \(B = 3\). Поэтому мы раскладываем исходное выражение на множители как \((x^2 — 3)(x^2 + 3)\). Это разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений.
Такой способ факторизации позволяет представить многочлен в виде произведения двух двучленов, что упрощает анализ его корней и вычисления. Важно понимать, что подобное разложение возможно только при наличии разности квадратов, то есть когда число или выражение можно представить как квадрат.
б) В выражении \(25 — n^6\) можно заметить, что \(25 = 5^2\), а \(n^6 = (n^3)^2\). Таким образом, это снова разность квадратов: \(A^2 — B^2\), где \(A = 5\), \(B = n^3\). Используя формулу разности квадратов, раскладываем на множители: \((5 — n^3)(5 + n^3)\).
Это разложение помогает упростить выражение и найти корни уравнений, связанных с этим многочленом. При этом важно помнить, что \(n^3\) — это куб переменной \(n\), а не квадрат, но в данном случае мы рассматриваем степень \(n^6\) как квадрат от \(n^3\).
в) Рассмотрим \(m^8 — a^2\). Здесь \(m^8 = (m^4)^2\), а \(a^2 = a^2\), то есть это разность квадратов двух выражений: \(A^2 — B^2\) с \(A = m^4\), \(B = a\). По формуле разности квадратов раскладываем: \((m^4 — a)(m^4 + a)\).
Это разложение позволяет упростить исходный многочлен, выделив более простые множители. Такие преобразования часто применяются для решения уравнений и упрощения выражений в алгебре.
г) В выражении \(y^2 — p^4\) заметим, что \(p^4 = (p^2)^2\), а \(y^2 = y^2\). Это разность квадратов с \(A = y\) и \(B = p^2\). Используем формулу: \((y — p^2)(y + p^2)\).
Такое разложение удобно, когда нужно упростить выражение или найти его корни. Разложение на множители всегда облегчает работу с многочленами, в частности, при решении уравнений или при интегрировании.
д) Рассмотрим \(c^6 — d^6\). Здесь \(c^6 = (c^3)^2\), \(d^6 = (d^3)^2\), то есть разность квадратов с \(A = c^3\) и \(B = d^3\). По формуле разности квадратов раскладываем: \((c^3 — d^3)(c^3 + d^3)\).
В данном случае каждый из множителей — разность или сумма кубов, которые можно дополнительно разложить, если требуется. Этот шаг помогает упростить выражение и выделить более простые составляющие.
е) В выражении \(x^6 — a^4\) видим, что \(x^6 = (x^3)^2\), \(a^4 = (a^2)^2\), то есть разность квадратов с \(A = x^3\), \(B = a^2\). Применяем формулу: \((x^3 — a^2)(x^3 + a^2)\).
Это разложение упрощает работу с многочленом, позволяя выделить множители меньшей степени. При необходимости можно дальше разложить каждый из этих множителей, если они поддаются факторизации.
ж) Рассмотрим \(b^4 — y^{10}\). Здесь \(b^4 = (b^2)^2\), а \(y^{10} = (y^5)^2\), то есть разность квадратов с \(A = b^2\), \(B = y^5\). По формуле разности квадратов раскладываем: \((b^2 — y^5)(b^2 + y^5)\).
Такое разложение важно, чтобы упростить выражение и работать с его корнями. Оно также помогает при решении уравнений, где встречаются подобные степени переменных.
з) В выражении \(m^8 — n^6\) видим, что \(m^8 = (m^4)^2\), \(n^6 = (n^3)^2\), то есть разность квадратов с \(A = m^4\), \(B = n^3\). Используем формулу: \((m^4 — n^3)(m^4 + n^3)\).
Это разложение помогает разбить сложный многочлен на произведение более простых выражений, что облегчает дальнейшие вычисления и анализ.
и) Рассмотрим \(a^4 — b^4\). Здесь \(a^4 = (a^2)^2\), \(b^4 = (b^2)^2\), то есть разность квадратов с \(A = a^2\), \(B = b^2\). Применяем формулу: \((a^2 — b^2)(a^2 + b^2)\).
Дальше выражение \(a^2 — b^2\) также можно разложить по той же формуле: \((a — b)(a + b)\), что даёт более полное разложение исходного выражения.
к) В выражении \(c^8 — d^8\) видим, что \(c^8 = (c^4)^2\), \(d^8 = (d^4)^2\), то есть разность квадратов с \(A = c^4\), \(B = d^4\). По формуле раскладываем: \((c^4 — d^4)(c^4 + d^4)\).
Далее \(c^4 — d^4\) можно разложить аналогично, используя формулу разности квадратов ещё раз, что позволяет получить более полное разложение многочлена.
л) Рассмотрим \(a^4 — 16\). Здесь \(a^4 = (a^2)^2\), а \(16 = 4^2\), то есть разность квадратов с \(A = a^2\), \(B = 4\). По формуле раскладываем: \((a^2 — 4)(a^2 + 4)\).
Далее \(a^2 — 4\) можно разложить как \((a — 2)(a + 2)\), что позволяет получить полный разложенный вид исходного выражения.
м) В выражении \(81 — b^4\) видим, что \(81 = 9^2\), \(b^4 = (b^2)^2\), то есть разность квадратов с \(A = 9\), \(B = b^2\). Используем формулу: \((9 — b^2)(9 + b^2)\).
Далее \(9 — b^2\) можно разложить как \((3 — b)(3 + b)\), что позволяет получить более подробное разложение исходного выражения.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!