ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 906 Макарычев — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \(x^2 — 16 = 0\);

б) \(y^2 — 81 = 0\);

в) \(\frac{1}{9} — x^2 = 0\);

г) \(a^2 — 0,25 = 0\);

д) \(b^2 + 36 = 0\);

е) \(x^2 — 1 = 0\);

ж) \(4x^2 — 9 = 0\);

з) \(25x^2 — 16 = 0\);

и) \(81x^2 + 4 = 0\).

а) Уравнение \(x^2 — 16 = 0\) переносим \(16\) вправо: \(x^2 = 16\). Извлекаем корень: \(x = \pm 4\).

б) Уравнение \(y^2 — 81 = 0\) переписываем как \(y^2 = 81\). Корень: \(y = \pm 9\).

в) Уравнение \(\frac{1}{9} — x^2 = 0\) приводим к виду \(\left(\frac{1}{3} — x\right)\left(\frac{1}{3} + x\right) = 0\). Корни: \(x = \frac{1}{3}\), \(x = -\frac{1}{3}\).

г) Уравнение \(a^2 — 0,25 = 0\) раскладываем: \((a — 0,5)(a + 0,5) = 0\). Корни: \(a = 0,5\), \(a = -0,5\).

д) Уравнение \(b^2 + 36 = 0\) переписываем как \(b^2 = -36\). Корней нет: \(\emptyset\).

е) Уравнение \(x^2 — 1 = 0\) приводим к \(x^2 = 1\). Корни: \(x = \pm 1\).

ж) Уравнение \(4x^2 — 9 = 0\) раскладываем: \((2x — 3)(2x + 3) = 0\). Корни: \(x = 1,5\), \(x = -1,5\).

з) Уравнение \(25x^2 — 16 = 0\) раскладываем: \((5x — 4)(5x + 4) = 0\). Корни: \(x = \frac{4}{5}\), \(x = -\frac{4}{5}\).

и) Уравнение \(81x^2 + 4 = 0\) переписываем как \(81x^2 = -4\). Корней нет: \(\emptyset\).

а) Рассмотрим уравнение \(x^2 — 16 = 0\). Чтобы решить его, перенесём число 16 в правую часть уравнения, получим \(x^2 = 16\). Это уравнение говорит нам, что квадрат числа \(x\) равен 16. Чтобы найти \(x\), нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Корень из 16 равен 4, но так как квадрат числа может быть равен положительному числу и при \(x = 4\), и при \(x = -4\), то решение будет \(x = \pm 4\). Таким образом, уравнение имеет два корня: \(4\) и \(-4\).

Рассмотрение знаков корней важно, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, и уравнение \(x^2 = 16\) допускает два значения \(x\), дающих одинаковый квадрат. Это классический пример квадратного уравнения, где решение находится через извлечение квадратного корня.

б) Уравнение \(y^2 — 81 = 0\) решается аналогично. Переносим 81 вправо: \(y^2 = 81\). Теперь нужно найти число, квадрат которого равен 81. Корень из 81 равен 9. Поскольку квадрат положительного и отрицательного числа одинаков, корни уравнения будут \(y = \pm 9\). Таким образом, уравнение имеет два решения: \(9\) и \(-9\).

Это классический пример уравнения с разностью квадратов, где одна часть равна нулю, а другая — квадрату числа. Важно помнить, что квадрат любого числа не может быть отрицательным, поэтому отрицательных корней по модулю не существует, только знакопеременные.

в) Рассмотрим уравнение \(\frac{1}{9} — x^2 = 0\). Переносим \(x^2\) вправо, получаем \(x^2 = \frac{1}{9}\). Чтобы найти \(x\), извлечём квадратный корень из обеих частей: \(x = \pm \frac{1}{3}\). Можно также представить уравнение в виде произведения: \(\left(\frac{1}{3} — x\right)\left(\frac{1}{3} + x\right) = 0\). Это равносильно уравнению \(x = \frac{1}{3}\) или \(x = -\frac{1}{3}\).

Такой подход позволяет разложить уравнение на два линейных уравнения, каждое из которых даёт по одному корню. Это полезно для понимания структуры уравнения и подтверждения найденных решений.

г) Уравнение \(a^2 — 0,25 = 0\) можно переписать как \(a^2 = 0,25\). Извлекаем корень: \(a = \pm 0,5\), так как \(0,25 = 0,5^2\). Можно представить уравнение в виде произведения: \((a — 0,5)(a + 0,5) = 0\). Отсюда следует, что \(a = 0,5\) или \(a = -0,5\).

Разложение на множители помогает понять, что уравнение имеет два решения, каждое из которых обращает один из множителей в ноль. Это стандартный метод решения квадратных уравнений.

д) Уравнение \(b^2 + 36 = 0\) перепишем как \(b^2 = -36\). Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней. В данном случае множество решений пусто: \(\emptyset\).

Если рассматривать комплексные числа, то корни существуют, но в рамках действительных чисел решений нет. Это важный момент, который нужно учитывать при решении квадратных уравнений.

е) Уравнение \(x^2 — 1 = 0\) переписываем как \(x^2 = 1\). Извлекая корень, получаем \(x = \pm 1\). Таким образом, уравнение имеет два корня: \(1\) и \(-1\).

Это классический пример уравнения с разностью квадратов, где корни легко находятся через извлечение квадратного корня.

ж) Уравнение \(4x^2 — 9 = 0\) можно представить как \((2x)^2 — 3^2 = 0\). Это разность квадратов, которую раскладываем: \((2x — 3)(2x + 3) = 0\). Решаем каждое линейное уравнение: \(2x — 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1,5\) и \(2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} = -1,5\).

Такое разложение позволяет быстро найти корни уравнения без необходимости извлекать корень из дробного числа напрямую.

з) Уравнение \(25x^2 — 16 = 0\) также является разностью квадратов: \((5x)^2 — 4^2 = 0\). Раскладываем: \((5x — 4)(5x + 4) = 0\). Решаем линейные уравнения: \(5x — 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{5}\), \(5x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{5}\).

Использование формулы разности квадратов значительно упрощает решение подобных уравнений и позволяет быстро получить два корня.

и) Уравнение \(81x^2 + 4 = 0\) переписываем как \(81x^2 = -4\). Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней нет: \(\emptyset\). Если рассматривать комплексные числа, то корни существуют, но в рамках действительных чисел решения отсутствуют.

Этот пример подчёркивает важность проверки знака правой части уравнения перед извлечением квадратного корня, так как отрицательное значение под корнем в действительных числах невозможно.