ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 907 Макарычев — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \(m^2 — 25 = 0\);

б) \(x^2 — 36 = 0\);

в) \(9x^2 — 4 = 0\);

г) \(16x^2 — 49 = 0\).

а) Решаем уравнение \( m^2 — 25 = 0 \). Переносим 25 в правую часть: \( m^2 = 25 \). Извлекаем корень: \( m = \pm 5 \).

б) Уравнение \( x^2 — 36 = 0 \) преобразуем к виду \( x^2 = 36 \). Корень: \( x = \pm 6 \).

в) Уравнение \( 9x^2 — 4 = 0 \) разлагаем как \( (3x — 2)(3x + 2) = 0 \). Приравниваем каждый множитель к нулю: \( 3x — 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \), \( 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \).

г) Уравнение \( 16x^2 — 49 = 0 \) раскладываем: \( (4x — 7)(4x + 7) = 0 \). Решаем каждое: \( 4x — 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{4} \), \( 4x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{4} \).

а) Уравнение \( m^2 — 25 = 0 \) представляет собой разность квадратов. Чтобы решить его, нужно сначала перенести число 25 в правую часть уравнения, получим \( m^2 = 25 \). Это уравнение означает, что квадрат числа \( m \) равен 25. Чтобы найти \( m \), необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Квадратный корень из 25 равен 5, но поскольку \( m^2 = 25 \), то \( m \) может быть как положительным, так и отрицательным числом.

Таким образом, решение уравнения будет \( m = \pm 5 \). Это значит, что \( m \) может принимать два значения: \( 5 \) и \( -5 \). Такая ситуация возникает потому, что возведение в квадрат устраняет знак числа, поэтому при обратном действии (извлечении корня) нужно учитывать оба знака.

б) Рассмотрим уравнение \( x^2 — 36 = 0 \). Аналогично предыдущему примеру, это уравнение также является разностью квадратов. Переносим 36 в правую часть уравнения, получаем \( x^2 = 36 \). Теперь нужно найти число \( x \), квадрат которого равен 36. Извлекая квадратный корень, получаем \( x = \pm 6 \).

Это означает, что \( x \) может быть равно либо 6, либо -6. Обе эти величины при возведении в квадрат дают 36, поэтому обе подходят как решения уравнения. Таким образом, уравнение имеет два корня, которые отражают симметрию квадратичной функции относительно оси абсцисс.

в) Уравнение \( 9x^2 — 4 = 0 \) также является разностью квадратов, так как \( 9x^2 = (3x)^2 \) и 4 — это \( 2^2 \). Запишем уравнение в виде произведения двух скобок: \( (3x — 2)(3x + 2) = 0 \). Чтобы произведение было равно нулю, достаточно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно: \( 3x — 2 = 0 \) и \( 3x + 2 = 0 \). Решая первое, получаем \( 3x = 2 \), откуда \( x = \frac{2}{3} \). Решая второе, получаем \( 3x = -2 \), откуда \( x = -\frac{2}{3} \). Таким образом, уравнение имеет два корня: \( \frac{2}{3} \) и \( -\frac{2}{3} \).

Этот метод разложения на множители особенно удобен для решения уравнений, где коэффициенты позволяют представить выражение в виде разности квадратов. Корни уравнения симметричны относительно нуля, что характерно для квадратных уравнений.

г) Уравнение \( 16x^2 — 49 = 0 \) также можно представить как разность квадратов: \( 16x^2 = (4x)^2 \), а 49 — это \( 7^2 \). Следовательно, уравнение можно разложить в произведение: \( (4x — 7)(4x + 7) = 0 \). Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы либо \( 4x — 7 = 0 \), либо \( 4x + 7 = 0 \).

Решая первое уравнение, получаем \( 4x = 7 \), откуда \( x = \frac{7}{4} \). Решая второе, \( 4x = -7 \), откуда \( x = -\frac{7}{4} \). Таким образом, уравнение имеет два корня: \( \frac{7}{4} \) и \( -\frac{7}{4} \).

Этот способ решения демонстрирует, как можно использовать свойства разности квадратов для быстрого нахождения корней уравнения без необходимости применять формулу квадратного уравнения. Корни всегда будут противоположны по знаку и равны по абсолютной величине.