ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 908 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) \(c^6 — 9x^4\);

б) \(100y^2 — a^3\);

в) \(4x^4 — 25b^2\);

г) \(a^4 b^4 — 1\);

д) \(0,36 — x^4 y^4\);

е) \(4a^2 — 6b^6 c^2\);

ж) \(16m^2 y^2 — 9n^4\);

з) \(9x^8 y^4 — 100z^2\);

и) \(0,81p^6 m^4 — 0,01x^2\).

а) Выражение \(c^6 — 9x^4\) — разность квадратов, так как \(c^6 = (c^3)^2\) и \(9x^4 = (3x^2)^2\). Используем формулу: \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\), получаем \((c^3 — 3x^2)(c^3 + 3x^2)\).

б) В \(100y^2 — a^8\) выделяем квадраты: \(100y^2 = (10y)^2\), \(a^8 = (a^4)^2\). Разность квадратов раскладывается как \((10y — a^4)(10y + a^4)\).

в) В \(4x^4 — 25b^2\) видим квадраты: \(4x^4 = (2x^2)^2\), \(25b^2 = (5b)^2\). Разложение: \((2x^2 — 5b)(2x^2 + 5b)\).

г) В \(a^4 b^4 — 1\) выделяем квадраты: \(a^4 b^4 = (a^2 b^2)^2\), \(1 = 1^2\). Разложение: \((a^2 b^2 — 1)(a^2 b^2 + 1)\).

д) В \(0{,}36 — x^4 y^4\) выделяем квадраты: \(0{,}36 = (0{,}6)^2\), \(x^4 y^4 = (x^2 y^2)^2\). Разложение: \((0{,}6 — x^2 y^2)(0{,}6 + x^2 y^2)\).

е) В \(4a^2 — b^6 c^2\) выделяем квадраты: \(4a^2 = (2a)^2\), \(b^6 c^2 = (b^3 c)^2\). Разложение: \((2a — b^3 c)(2a + b^3 c)\).

ж) В \(16 m^2 y^2 — 9 n^4\) выделяем квадраты: \(16 m^2 y^2 = (4 m y)^2\), \(9 n^4 = (3 n^2)^2\). Разложение: \((4 m y — 3 n^2)(4 m y + 3 n^2)\).

з) В \(9 x^8 y^4 — 100 z^2\) выделяем квадраты: \(9 x^8 y^4 = (3 x^4 y^2)^2\), \(100 z^2 = (10 z)^2\). Разложение: \((3 x^4 y^2 — 10 z)(3 x^4 y^2 + 10 z)\).

и) В \(0{,}81 p^6 m^4 — 0{,}01 x^2\) выделяем квадраты: \(0{,}81 p^6 m^4 = (0{,}9 p^3 m^2)^2\), \(0{,}01 x^2 = (0{,}1 x)^2\). Разложение: \((0{,}9 p^3 m^2 — 0{,}1 x)(0{,}9 p^3 m^2 + 0{,}1 x)\).

а) В данном выражении мы имеем разность квадратов двух выражений: \(c^6\) и \(9x^4\). Чтобы разложить её на множители, заметим, что \(c^6 = (c^3)^2\), а \(9x^4 = (3x^2)^2\). Формула разности квадратов гласит, что \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\). Здесь \(A = c^3\), \(B = 3x^2\). Значит, разложение будет выглядеть так: \((c^3 — 3x^2)(c^3 + 3x^2)\). Этот приём позволяет упростить выражение и найти его корни.

Далее, если бы потребовалось, можно было бы попытаться разложить каждое из скобочных выражений дополнительно, если они представляют собой разность или сумму кубов, но в данном случае это не нужно. Таким образом, мы получили факторизацию исходного многочлена в виде произведения двух множителей, что значительно упрощает работу с ним.

б) Здесь рассматривается выражение \(100y^2 — a^8\). Снова видим разность квадратов, так как \(100y^2 = (10y)^2\), а \(a^8 = (a^4)^2\). Применяя формулу разности квадратов, получаем: \((10y — a^4)(10y + a^4)\). Это разложение помогает упростить выражение и может использоваться для решения уравнений или упрощения дробей.

Важно отметить, что \(a^8\) можно представить как \((a^4)^2\), что и позволяет применить стандартную формулу факторизации. Если бы степени были нечетными или выражения не были квадратами, понадобились бы другие методы разложения.

в) В выражении \(4x^4 — 25b^2\) также применяется формула разности квадратов. Заметим, что \(4x^4 = (2x^2)^2\), а \(25b^2 = (5b)^2\). Следовательно, факторизация будет: \((2x^2 — 5b)(2x^2 + 5b)\). Это классический пример использования формулы разности квадратов для многочленов с переменными и коэффициентами.

Такое разложение полезно для решения уравнений, где нужно найти значения \(x\) или \(b\), при которых выражение равно нулю. Каждый множитель приравнивается к нулю, что даёт корни уравнения.

г) В выражении \(a^4b^4 — 1\) видим разность квадратов, где \(a^4b^4 = (a^2b^2)^2\), а \(1 = 1^2\). Применяя формулу, получаем: \((a^2b^2 — 1)(a^2b^2 + 1)\). Первый множитель можно дополнительно разложить, так как он тоже является разностью квадратов: \(a^2b^2 — 1 = (ab — 1)(ab + 1)\). Второй множитель \(a^2b^2 + 1\) разложить нельзя в рамках вещественных чисел.

Такое разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений, так как разбивает сложное выражение на более простые множители.

д) Выражение \(0,36 — x^4 y^4\) представлено в виде разности квадратов, так как \(0,36 = (0,6)^2\), а \(x^4 y^4 = (x^2 y^2)^2\). Применяя формулу, получаем: \((0,6 — x^2 y^2)(0,6 + x^2 y^2)\). Это разложение помогает упростить выражение и использовать его для дальнейших преобразований.

Важно обращать внимание на числовые коэффициенты и правильно выделять квадраты, чтобы корректно применять формулы разложения.

е) В выражении \(4a^2 — b^6 c^2\) заметим, что \(4a^2 = (2a)^2\), а \(b^6 c^2 = (b^3 c)^2\). Это снова разность квадратов, которую можно разложить как \((2a — b^3 c)(2a + b^3 c)\). Такая факторизация упрощает работу с выражением, особенно при решении уравнений.

Важным моментом является правильное выделение степеней, чтобы распознать квадратные выражения и применить формулу разности квадратов.

ж) В выражении \(16m^2 y^2 — 9n^4\) видим, что \(16m^2 y^2 = (4 m y)^2\), а \(9 n^4 = (3 n^2)^2\). Применяя формулу разности квадратов, получаем разложение: \((4 m y — 3 n^2)(4 m y + 3 n^2)\). Это классический шаг для упрощения выражений с переменными и степенями.

Такое разложение часто используется в алгебре для упрощения и решения различных задач.

з) В выражении \(9 x^8 y^4 — 100 z^2\) \(9 x^8 y^4 = (3 x^4 y^2)^2\), а \(100 z^2 = (10 z)^2\). Следовательно, разложение по формуле разности квадратов будет: \((3 x^4 y^2 — 10 z)(3 x^4 y^2 + 10 z)\). Это позволяет упростить исходное выражение и работать с ним более эффективно.

Обращаем внимание, что каждый множитель можно использовать для нахождения корней уравнения.

и) Выражение \(0,81 p^6 m^4 — 0,01 x^2\) представляет собой разность квадратов, так как \(0,81 p^6 m^4 = (0,9 p^3 m^2)^2\), а \(0,01 x^2 = (0,1 x)^2\). Применяем формулу разности квадратов и получаем: \((0,9 p^3 m^2 — 0,1 x)(0,9 p^3 m^2 + 0,1 x)\). Это разложение помогает упростить выражение и использовать его в дальнейших вычислениях.

Важно правильно выделять корни из степеней и десятичных чисел для корректного применения формулы.