ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 910 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде произведения:

а) \((x + 3)^2 — 1\);

б) \(64 — (b + 1)^2\);

в) \((4 a — 3)^2 — 16\);

г) \(25 — (a + 7)^2\);

д) \((5 y — 6)^2 — 81\);

е) \(1 — (2 x — 1)^2\).

а) Используем формулу разности квадратов: \((x+3)^2 — 1 = (x+3 — 1)(x+3 + 1) = (x+2)(x+4)\).

б) Представляем \(64\) как \(8^2\) и применяем формулу разности квадратов: \(64 — (b+1)^2 = (8 — (b+1))(8 + (b+1)) = (7 — b)(9 + b)\).

в) Записываем \(16\) как \(4^2\) и раскладываем: \((4a — 3)^2 — 16 = (4a — 3 — 4)(4a — 3 + 4) = (4a — 7)(4a + 1)\).

г) Используем \(25 = 5^2\) и формулу разности квадратов: \(25 — (a + 7)^2 = (5 — (a+7))(5 + (a+7)) = (-a — 2)(a + 12)\), переписываем как \((-a — 7)(12 + a)\).

д) Записываем \(81 = 9^2\) и раскладываем: \((5y — 6)^2 — 81 = (5y — 6 — 9)(5y — 6 + 9) = (5y — 15)(5y + 3)\).

е) Используем формулу разности квадратов: \(1 — (2x — 1)^2 = (1 — (2x — 1))(1 + (2x — 1)) = (2 — 2x)(2x) = 4x(1 — x)\).

а) Рассмотрим выражение \((x+3)^2 — 1\). Здесь используется формула разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)\). В нашем случае \(a = x+3\), а \(b = 1\). Поэтому мы можем разложить выражение как \((x+3 — 1)(x+3 + 1)\). Это упрощается до \((x+2)(x+4)\). Таким образом, исходное выражение разложено на произведение двух линейных множителей, что облегчает дальнейшие вычисления и анализ.

Далее, если раскрыть скобки в полученном произведении, мы вернёмся к исходному квадрату, что подтверждает правильность разложения. Этот приём часто используется для упрощения выражений и решения уравнений, где требуется найти корни или преобразовать выражение в более удобный вид.

б) В выражении \(64 — (b+1)^2\) также применена формула разности квадратов. Здесь \(a = 8\), так как \(64 = 8^2\), и \(b = b+1\). Разложение будет выглядеть так: \((8 — (b+1))(8 + (b+1))\). Раскрывая скобки, получаем \((8 — b — 1)(8 + b + 1)\), что упрощается до \((7 — b)(9 + b)\). Это разложение позволяет представить исходное выражение в виде произведения двух линейных множителей, что удобно для анализа или решения уравнений.

Такое разложение полезно, когда нужно найти значения \(b\), при которых выражение равно нулю, или для упрощения сложных алгебраических выражений.

в) Выражение \((4a — 3)^2 — 16\) снова является разностью квадратов, где \(a = 4a — 3\) и \(b = 4\), так как \(16 = 4^2\). По формуле разности квадратов оно раскладывается в произведение \((4a — 3 — 4)(4a — 3 + 4)\). Упрощая скобки, получаем \((4a — 7)(4a + 1)\). Это разложение помогает преобразовать исходное выражение в произведение двух линейных выражений, что удобно для дальнейших вычислений или решения уравнений.

Такой подход позволяет упростить работу с многочленами и помогает находить корни уравнений, связанных с исходным выражением.

г) В выражении \(25 — (a + 7)^2\) мы видим разность квадратов, где \(a = 5\), так как \(25 = 5^2\), и \(b = a + 7\). Используя формулу, имеем \((5 — (a+7))(5 + (a+7))\). Раскрывая скобки, получаем \((5 — a — 7)(5 + a + 7)\), что упрощается до \((-a — 2)(a + 12)\). Переписав первый множитель, получаем \((-a — 7)(12 + a)\). Это разложение даёт произведение двух линейных множителей, удобных для анализа и решения.

Такое разложение часто применяется для упрощения выражений и нахождения значений переменной, при которых выражение обращается в ноль.

д) Выражение \((5y — 6)^2 — 81\) также является разностью квадратов: \(a = 5y — 6\), \(b = 9\), так как \(81 = 9^2\). По формуле получаем \((5y — 6 — 9)(5y — 6 + 9)\). Упрощая, имеем \((5y — 15)(5y + 3)\). Это разложение позволяет представить исходное выражение в виде произведения двух линейных выражений, что полезно для решения уравнений и упрощения алгебраических выражений.

Такой приём широко используется для сокращения сложных выражений и нахождения корней.

е) Рассмотрим выражение \(1 — (2x — 1)^2\). Здесь \(a = 1\), \(b = 2x — 1\). Применяем формулу разности квадратов: \((1 — (2x — 1))(1 + (2x — 1))\). Это даёт \((1 — 2x + 1)(1 + 2x — 1)\), что упрощается до \((2 — 2x)(2x)\). Переписываем как произведение \(2x \cdot (2 — 2x)\). Выносим общий множитель 2: \(2x \cdot 2(1 — x) = 4x \cdot (1 — x)\). Таким образом, исходное выражение разложено на произведение двух множителей, что значительно упрощает его анализ и последующие вычисления.

Такое разложение особенно полезно при решении уравнений и упрощении выражений, где встречаются квадраты разностей.