ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 911 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители:

а) \(9y^{2} — (1 + 2y)^{2}\);

б) \((3c — 5)^{2} — 16c^{2}\);

в) \(49x^{2} — (y + 8x)^{2}\);

г) \((5a — 30)^{2} — 25a^{2}\);

д) \((-2a^{2} + 30)^{2} — 4a^{4}\);

е) \(b^{6} — (x — 4b^{3})^{2}\).

а) \(9y^2 — (1 + 2y)^2 = (3y — 1 — 2y)(3y + 1 + 2y) = (y — 1)(5y + 1)\)

б) \((3c — 5)^2 — 16c^2 = (3c — 5 — 4c)(3c — 5 + 4c) = (-c — 5)(7c — 5)\)

в) \(49x^2 — (y + 8x)^2 = (7x — y — 8x)(7x + y + 8x) = (-x — y)(15x + y)\)

г) \((5a — 3b)^2 — 25a^2 = (5a — 3b — 5a)(5a — 3b + 5a) = -3b \cdot (10a — 3b)\)

д) \((-2a^2 + 3b)^2 — 4a^4 = (-2a^2 + 3b — 2a^2)(-2a^2 + 3b + 2a^2) =\) \(= 3b \cdot (3b — 4a^2)\)

е) \(b^6 — (x — 4b^3)^2 = (b^3 — x + 4b^3)(b^3 + x — 4b^3) = (5b^3 — x)(x — 3b^3)\)

а) Выражение \(9y^2 — (1 + 2y)^2\) представляет собой разность квадратов двух выражений: \(9y^2\) и \((1 + 2y)^2\). Формула разности квадратов гласит, что \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\). Здесь \(A = 3y\), так как \(9y^2 = (3y)^2\), а \(B = 1 + 2y\). Применяя формулу, получаем \((3y — (1 + 2y))(3y + (1 + 2y))\). Раскрывая скобки, внутри первого множителя будет \(3y — 1 — 2y = y — 1\), а во втором — \(3y + 1 + 2y = 5y + 1\). Таким образом, исходное выражение раскладывается в произведение \((y — 1)(5y + 1)\).

Этот метод удобен тем, что позволяет быстро разложить выражения, которые являются разностью квадратов, без необходимости раскрывать скобки и приводить подобные члены вручную. Важно правильно определить \(A\) и \(B\), чтобы корректно применить формулу. В данном случае \(9y^2\) — это квадрат \(3y\), а \((1 + 2y)^2\) — квадрат суммы, что соответствует \(B^2\).

Итоговый результат — это произведение двух линейных выражений, что значительно упрощает дальнейшие вычисления или решение уравнений, где встречается исходное выражение.

б) В выражении \((3c — 5)^2 — 16c^2\) также используется формула разности квадратов. Здесь \(A = 3c — 5\), а \(B = 4c\), поскольку \(16c^2 = (4c)^2\). По формуле разности квадратов раскладываем как \((3c — 5 — 4c)(3c — 5 + 4c)\). В первом множителе \(3c — 5 — 4c = -c — 5\), во втором \(3c — 5 + 4c = 7c — 5\).

Важно внимательно раскрывать скобки и следить за знаками при объединении подобных членов, чтобы не допустить ошибок. В этом примере после раскрытия скобок получились выражения с отрицательными и положительными коэффициентами, что влияет на итоговый результат.

В итоге исходное выражение представлено в виде произведения двух двучленов \((-c — 5)(7c — 5)\), что упрощает работу с ним.

в) Рассматриваем разность квадратов \(49x^2 — (y + 8x)^2\). Здесь \(A = 7x\), так как \(49x^2 = (7x)^2\), а \(B = y + 8x\). Применяем формулу: \((7x — (y + 8x))(7x + (y + 8x))\). В первом множителе \(7x — y — 8x = -x — y\), во втором \(7x + y + 8x = 15x + y\).

Этот пример показывает, что при работе с разностью квадратов важно правильно раскрыть скобки и сложить или вычесть члены с переменными. Здесь переменные \(x\) и \(y\) смешаны, поэтому требуется аккуратность.

Итоговое выражение — произведение \((-x — y)(15x + y)\), что является удобной формой для дальнейших преобразований.

г) Выражение \((5a — 3b)^2 — 25a^2\) также является разностью квадратов. Здесь \(A = 5a — 3b\), а \(B = 5a\). По формуле раскладываем: \((5a — 3b — 5a)(5a — 3b + 5a)\). В первом множителе \(5a — 3b — 5a = -3b\), во втором \(5a — 3b + 5a = 10a — 3b\).

Этот пример иллюстрирует, что даже если один из множителей содержит сложное выражение, формула разности квадратов остается применимой. Важно аккуратно упростить выражения внутри скобок.

В итоге получаем произведение двух выражений \(-3b \cdot (10a — 3b)\), что облегчает дальнейшее использование.

д) В выражении \((-2a^2 + 3b)^2 — 4a^4\) выделяем \(A = -2a^2 + 3b\) и \(B = 2a^2\), так как \(4a^4 = (2a^2)^2\). Применяем формулу разности квадратов: \((-2a^2 + 3b — 2a^2)(-2a^2 + 3b + 2a^2)\). В первом множителе \(-2a^2 + 3b — 2a^2 = 3b — 4a^2\), во втором \(-2a^2 + 3b + 2a^2 = 3b\).

Здесь важно внимательно работать с отрицательными знаками и степенями, чтобы правильно упростить выражения. Перестановка членов помогает увидеть конечный результат.

Итогом является произведение \(3b \cdot (3b — 4a^2)\), что упрощает исходное выражение.

е) Рассмотрим \(b^6 — (x — 4b^3)^2\). Здесь \(A = b^3\), так как \(b^6 = (b^3)^2\), а \(B = x — 4b^3\). По формуле разности квадратов раскладываем: \((b^3 — (x — 4b^3))(b^3 + (x — 4b^3))\). В первом множителе \(b^3 — x + 4b^3 = 5b^3 — x\), во втором \(b^3 + x — 4b^3 = x — 3b^3\).

Этот пример показывает, что при работе с выражениями, содержащими сложные члены, важно аккуратно раскрывать скобки и правильно группировать члены. При этом степень переменных должна быть четко записана и учтена.

В итоге исходное выражение представлено в виде произведения \((5b^3 — x)(x — 3b^3)\), что удобно для дальнейших вычислений.